Python fsolve fprime 的形状是错误的吗？

Question

下面再简单不过了，但我找不到如何使它工作......

from scipy.optimize import fsolve

def a(x):
    return x*x-x

def ap(x):
    return 2*x-1

#works
print(fsolve(a, 0.3))

#works
print(fsolve(a, 0.3, fprime=ap))

#works
print(fsolve(a, [0.3], fprime=ap))

#works
print(fsolve(a, [0.3, 0.7]))

#crashes
print(fsolve(a, [0.3, 0.7], fprime=ap))

当它崩溃时给出错误

TypeError: fsolve: there is a mismatch between the input and output shape of the 'fprime' argument 'ap'.Shape should be (2, 2) but it is (2,).

ap的输出维度似乎肯定应该与输入相同。 这怎么可能出错（我该如何解决）？

我认为一些downvoters错过了问题的微妙之处，所以这里有一个更深入的解释为什么我感到困惑：

似乎 scipy 将a解释为一个变量的函数，其中[0.3,0.7]开始估计fsolve(a, [0.3, 0.7])的两个根，但在fsolve(a, [0.3, 0.7], fprime=ap)它将a解释为两个变量的函数，其中[.3,.7]是单个根的估计。 根据文档（ https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.fsolve.html ），第二个参数

x0 : ndarray
    The starting estimate for the roots of func(x) = 0.

说它正在寻找根（复数）的估计。 但是它在给定fprime的情况下的行为使它听起来像x0被解释为单个根的估计。

Answer 1

我怀疑您期望fsolve(a, [0.3, 0.7], fprime=ap)返回标量问题的两个解决方案。 fsolve不能那样工作。

当您调用fsolve(a, x0, fprime=ap) ， fsolve函数会从x0的形状推断问题的维度。 如果x0是标量，它期望a接受标量，而fprime必须接受标量并返回标量（或 1x1 数组）。 如果x0是长度为 2 的序列（如在您的示例中不起作用），则fsolve期望a接受长度为 2 的数组作为其x参数并返回长度为 2 的序列。它还期望fprime接受一个数组长度为 2 并返回一个形状为 2x2 的数组（雅可比矩阵）。

Answer 2

感谢所有解释为什么我会得到我所得到的行为的人。 不过，实际上没有人告诉我如何解决这个问题，所以自从我想通了，我就写下了这个答案。

混淆源于这样一个事实，即 scipy 文档介于错误和误导之间。

文档说：

在给定起始估计的情况下，返回由 func(x) = 0 定义的（非线性）方程的根。

暗示对于标量函数，它可能返回一个根数组。 实际行为更接近

在给定起始估计的情况下，返回由 func(x) = 0 定义的（非线性）方程的根。

这将使该做什么变得显而易见。 为了找到方程的多个根，我们可以让 scipy（一如既往）将a(x)解释为n变量的函数，其中n是x的长度。 要找到多个根，让a被向量化，即

a([x1, x2, ..., xn]) = [a(x1), a(x2), ..., a(xn)] 。

这个函数的雅可比是一个对角矩阵

diag([ap(x1), ap(x2), ..., ap(xn)]) 。

因此，我的问题的答案是：

改变

print(fsolve(a, [0.3, 0.7], fprime=ap))

到

print(fsolve(a, [0.3, 0.7], fprime=lambda x: np.diag(ap(x))))
# correctly outputs
# [ -3.69321143e-16   1.00000000e+00]

或者简单地循环[0.3, 0.7]每次初始猜测调用fsolve一次。