在Python中使用具有固定协方差的高斯混合

Question

我有一些2D数据（GPS数据）与簇（停止位置），我知道它类似于具有特征标准偏差的高斯（与GPS样本的固有噪声成比例）。 下图显示了我期望有两个这样的聚类的样本。 图像宽25米，高13米。

sklearn模块有一个函数sklearn.mixture.GaussianMixture ，它允许您将高斯混合物拟合到数据中。 该函数有一个参数covariance_type ，使您可以假设有关高斯形状的不同内容。 例如，您可以使用'tied'参数假设它们是统一的。

但是，似乎不能直接假设协方差矩阵保持不变。 从sklearn源代码中进行修改似乎是微不足道的，但是使用允许此更新的拉取请求感觉有点过分（我也不想在sklearn意外添加错误）。 是否有更好的方法将混合拟合到每个高斯的协方差矩阵固定的数据？

我想假设SD应该保持恒定在每个组件大约3米，因为这大致是我的GPS样本的噪音水平。

Answer 1

我认为最好的选择是通过定义一个新的scikit-learn类来“滚动你自己的” GMM模型，该类继承自GaussianMixture并覆盖方法以获得你想要的行为。 这样您就可以自己实现一个实现，而不必更改scikit-learn代码（并创建一个pull-request）。

可能有用的另一个选择是在scikit-learn中查看GMM的贝叶斯版本 。 您可能能够为协方差矩阵设置先验，以便协方差是固定的。 它似乎使用Wishart分布作为协方差的先验。 但是我对这个发行版不太熟悉，无法帮助你。

Answer 2

编写自己的EM算法实现非常简单。 它也会让你对这个过程有一个很好的直觉。 我假设协方差是已知的，并且组件的先验概率是相等的，并且仅适合于均值。

该类看起来像这样（在Python 3中）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import multivariate_normal

class FixedCovMixture:
    """ The model to estimate gaussian mixture with fixed covariance matrix. """
    def __init__(self, n_components, cov, max_iter=100, random_state=None, tol=1e-10):
        self.n_components = n_components
        self.cov = cov
        self.random_state = random_state
        self.max_iter = max_iter
        self.tol=tol

    def fit(self, X):
        # initialize the process:
        np.random.seed(self.random_state)
        n_obs, n_features = X.shape
        self.mean_ = X[np.random.choice(n_obs, size=self.n_components)]
        # make EM loop until convergence
        i = 0
        for i in range(self.max_iter):
            new_centers = self.updated_centers(X)
            if np.sum(np.abs(new_centers-self.mean_)) < self.tol:
                break
            else:
                self.mean_ = new_centers
        self.n_iter_ = i

    def updated_centers(self, X):
        """ A single iteration """
        # E-step: estimate probability of each cluster given cluster centers
        cluster_posterior = self.predict_proba(X)
        # M-step: update cluster centers as weighted average of observations
        weights = (cluster_posterior.T / cluster_posterior.sum(axis=1)).T
        new_centers = np.dot(weights, X)
        return new_centers


    def predict_proba(self, X):
        likelihood = np.stack([multivariate_normal.pdf(X, mean=center, cov=self.cov) 
                               for center in self.mean_])
        cluster_posterior = (likelihood / likelihood.sum(axis=0))
        return cluster_posterior

    def predict(self, X):
        return np.argmax(self.predict_proba(X), axis=0)

在像您这样的数据上，模型会快速收敛：

np.random.seed(1)
X = np.random.normal(size=(100,2), scale=3)
X[50:] += (10, 5)

model = FixedCovMixture(2, cov=[[3,0],[0,3]], random_state=1)
model.fit(X)
print(model.n_iter_, 'iterations')
print(model.mean_)

plt.scatter(X[:,0], X[:,1], s=10, c=model.predict(X))
plt.scatter(model.mean_[:,0], model.mean_[:,1], s=100, c='k')
plt.axis('equal')
plt.show();

和输出

11 iterations
[[9.92301067 4.62282807]
 [0.09413883 0.03527411]]

您可以看到估计的中心（ (9.9, 4.6)和(0.09, 0.03) ）接近真实的中心（ (10, 5)和(0, 0) ）。

Answer 3

首先，您可以使用spherical选项，它将为每个组件提供单个方差值。 通过这种方式，您可以检查自己，如果收到的差异值太大，那么就会出现问题。

如果您想预设差异，则问题会退化为仅为您的组件找到最佳中心。 例如，您可以使用k-means来完成。 如果您不知道组件的数量，则可以扫描所有逻辑值（例如1到20）并评估拟合错误的减量。 或者，您可以优化自己的EM功能，同时查找中心和组件数量。