为什么在浮点算术中0.9999999999999999！= 1但0.9999999999999999 + 1 == 2

Question

我知道这一定是另一个浮点精度问题：令x为0.9999999999999999。 然后x + 1 == 2用浮点运算，但是x！=1。这是什么情况？ 以下是我在ipython控制台上尝试过的内容。

In [55]: x = 0.9999999999999999

In [56]: x==1
Out[56]: False

In [57]: x+1==2
Out[57]: True

[编辑]关于浮点计算中断的现有问题主要与FP表示错误有关，这似乎不是这里的主要原因。

Answer 1

与从1.0到2.0的区间中小数部分的位数相比，在0.5到1.0的区间0.5数部分具有一位。 因此，这是预期的。

您可以使用另一个示例：

0.9999999999 + 1234567890.0

第一个加数中有十个数字9 。

双精度（即64位）（二进制）浮点类型的精度约为16个十进制数字。 因此，只能从大约16位数字的“第一个”（即最高有效位）起记住一个数字。

Answer 2

您使用的浮点格式的有效位数为53位。 这意味着它可以将数字表示为一个53位整数乘以或除以2的幂。

将0.9999999999999999转换为该格式时，最接近的可表示值为（2 ⁵³ -1）/ 2 ⁵³ ，恰好是0.99999999999999988897769753748434595763683319091796875。 请注意，分子正好使用53位。

当您添加1时，数学结果将是（2 ⁵⁴ -1）/ 2 ⁵³ 。 分子将具有54位。 它不能以浮点格式表示，因此必须四舍五入以适合。 两个最接近的可表示值是：

• （2 ⁵⁴ -2）/ 2 ⁵³ =（2 ⁵³ -1）/ 2 ⁵² ，并且
• （2 ⁵⁴ −0）/ 2 ⁵³ = 2。

这些都与精确的数学结果相差甚远。 打破平局的规则是在其有效位的低位使用值为零的值。 （即使我在这里将有效数字表示为整数，但它是浮点格式的“左对齐”分数，因此分子1对应于二进制数字1.000000…000 _2。 ）

因此，将1加到0.9999999999999999 ，计算结果必须四舍五入到2。