在 Python 中通过数值微分计算加速度

Question

从手写笔移动测量中，我得到了两个测量值：时间和距离。 所以我有两个数组，第一个是时间戳数组（以毫秒为单位），然后是一个相同大小的距离测量数组。 例如，这两个数组可能如下所示：

distance = [1.4142,1.0000,1,0,1.0000,1.0000,0,0,1.0000,1.0000,0,1.0000,2.0000,2.2361,0,3.0000,3.6056,3.1623,3.1623,0,3.6056,3.1623,3.1623,0,1.4142,2.2361,1.0000,0,0]

timestamps = [1563203.5,1563208,1563210.5,1563213.5,1563218.5,1563223.5,1563226.5,1563229,1563233.5,1563238.5,1563242.5,1563245,1563248.5,1563253.5,1563258,1563260.5,1563263.5,1563268.5,1563273.5,1563276.5,1563279,1563283.5,1563288.5,1563292.5,1563295,1563298.5,1563303.5,1563307,1563317.5]

我认为一阶导数给了我速度，二阶导数给了我加速度。

我对使用数值微分计算加速度很感兴趣。 这怎么能在python中完成？

Answer 1

一阶导数可以计算为(f(x+h) - f(xh)) / (2h) 。 这给出了h^2数量级的估计误差。

二阶导数可以计算为(f(x+h) - 2f(x) + f(xh)) / h^2 。 这也给出了h^2数量级的估计误差。

注意：您可以使用(f(x+h) - f(x))/h或(f(x) - f(xh))/h来估计导数，但这些会给出h量级的估计误差，它大于h^2 。

我没有详细查看您的数据，但是如果您的数据点之间没有恒定的h间隔，这些公式就不太适用。 在这种情况下，我会简单地分两步计算加速度：

v(x_i) = (p(x_(i+1) - p(x_(i-1))) / (x_(i+1) - x_(i-1))
a(x_i) = (v(v_(i+1) - v(x_(i-1))) / (x_(i+1) - x_(i-1))

您基本上只需将一阶导数的数据输入到您的推导算法中，然后您就可以得到二阶导数。

Answer 2

作为@SirGuy 描述的两阶段微分方案的替代方案，假设局部加速度恒定，您可以考虑连续三元组点之间的抛物线拟合，

a T0² / 2 + b T0 + c = X0
a T1² / 2 + b T1 + c = X1
a T2² / 2 + b T2 + c = X2

您可以通过成对减法轻松消除c ，并在简化后

a (T1 + T0) / 2 + b = (X1 - X0) / (T1 - T0) = V01
a (T2 + T1) / 2 + b = (X2 - X1) / (T2 - T1) = V12

最后，

a = 2 (V12 - V01) / (T2 - T0).

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如果数据有噪声，您还可以考虑考虑更多点并在 K 个点（例如 5 或 7）上拟合滑动抛物线模型，中心点两侧的权重减少，以进行平滑。