即使将int修改为10 ^ 9 + 7，Oveflow

Question

我为数字的阶乘写了以下代码：

long int fac[max+1];
    fac[0]=1;


    for(int j=1;j<=max;j++)
        {
            fac[j]=(fac[j-1]*j)%1000000007;
        }


    //Printing
    for(int i=0;i<T;i++)
        {
            cout<<fac[N[i]]<<"\n";
        }

这对于int较长很有效，但是如果将数组更改为int，则会得到错误的答案。

请告诉我为什么当int的范围大于10 ^ 9 + 7时会发生这种情况。

Answer 1

与int fac[max+1]; ， fac[j-1] * j是int * int ，结果为int 。

如果溢出，您将拥有UB，即使未签名，也将丢失数据。

long int fac[max+1]; ，则fac[j-1] * j是long int * long int （ int > long int for j ），结果为long int 。

Answer 2

我们知道fac[j - 1] <10 ⁹ fac[j - 1] * j 。但是fac[j - 1] * j将是该值的j倍，并且long偶尔只有32位长（Windows）。 可以放入32位数字中的绝对最大值是4294967295，仅是模数的四倍。

考虑使用unsigned long long而不是long int应该可以工作到j > 2 ³⁴为止。

实际上，鉴于(a * b) % N在数学上等价于(a % N) * (b % N) ， 一旦用unsigned long long替换了long int ，就可以重写

fac[j] = (fac[j - 1] * j) % 1000000007

至

fac[j] = (fac[j - 1] * (j % 1000000007)) % 1000000007

然后，因为1000000007 ² <2 ⁶⁴ ，您应该可以永远继续进行此操作（当然，尽管最终您将用完fac的空间）。