使用python解决非正方形矩阵：如何使用numpy.linalg.lstsq（）？

Question

要求的行为
我想用python解决一个非平方矩阵。 矩阵具有两个线性相关向量。

当前状态
我尝试首先使用numpy.linalg.solve() ，但这仅适用于平方矩阵。 建议使用numpy.linalg.lstsq()其他StackOverflow发布。

问题
但是，我不明白如何正确实现numpy.linalg.lstsq() 。 该函数正确求解最后一个参数，但不能正确求解其他参数。 一个帖子推荐了这种解决方案 ，我也不明白。

我是否必须以某种方式实现循环？

有人可以给我提供代码示例吗？ 如何使用python解决这个矩阵问题？

我当前的代码

 import numpy as np # defining a linear equation system E=F with # | -2 * x1 - 4 * x2 + 1 * x3 - 9 * x4 + 0 * x5 = +5 | # | 3 * x1 + 6 * x2 + 0 * x3 + 12 * x4 + 3 * x5 = +15 | # | 1 * x1 + 2 * x2 + 1 * x3 + 3 * x4 + 1 * x5 = -17 | # | -5 * x1 - 4 * x2 + 1 * x3 - 9 * x4 + 0 * x5 = +14 | E=np.array( [ [-2,-4,1,-9,0], [3,6,0,12,3], [1,2,1,3,1], [-5,-10,3,-23,1] ] ) F=np.array( [3,15,-17,14] ) solutionNonSquare = np.linalg.lstsq(E, F) print('the solution vector is: {x1, x2, x3, x4, x5}=') print(solutionNonSquare) 

书面矩阵解决方案

Answer 1

这是一个欠定的方程组。 这意味着有很多解决方案，而没有“ the”解决方案。 高斯消除和lstsq提供不同解决方案的事实并不意味着任何错误。

让我们生成并检查各种解决方案：

import scipy.linalg as sla

E_null = sla.null_space(E)

def check_solution(coeffs):
    x = solutionNonSquare[0] + E_null @ coeffs
    check = E @ x - F
    with np.printoptions(precision=2, suppress=True):
        print('x = {}'.format(x))
    with np.printoptions(precision=5, suppress=True):
        print('E . x - F = {}'.format(check))
    print('|x| = {}'.format(np.linalg.norm(x)))

我们可以检查lstsq产生的最小范数解：

>>> check_solution([0, 0])
x = [ -4.35  -8.69 -19.69   2.31  17.5 ]
E . x - F = [ 0. -0. -0.  0.]
|x| = 28.174593028253167

我们可以生成和测试许多其他解决方案

>>> check_solution(100 * np.random.randn(2))
x = [ -88.93 -139.06   66.64   88.64   17.5 ]
E . x - F = [ 0.  0. -0.  0.]
|x| = 199.62363490542995
>>> check_solution(100 * np.random.randn(2))
x = [-25.2  -26.99  -5.33  16.67  17.5 ]
E . x - F = [ 0. -0. -0.  0.]
|x| = 44.455362582961335
>>> check_solution(100 * np.random.randn(2))
x = [ 93.34  14.57 -55.74 -33.74  17.5 ]
E . x - F = [ 0. -0. -0. -0.]
|x| = 116.09338153741933

我们甚至可以查看您的解决方案：

>>> my_favourite_solution = np.array([-12.5, 0, -22, 0, 17.5 ])
>>> my_favourite_coeffs = my_favourite_solution @ E_null
>>> check_solution(my_favourite_coeffs)
x = [-12.5   0.  -22.   -0.   17.5]
E . x - F = [ 0. -0. -0.  0.]
|x| = 30.765240125830324