我们如何使用抽水引理证明这种语言是不规则的？

Question

在解决时，我遇到了一个棘手的问题，要求我使用抽水引理证明某种语言是不规则的。 这个问题如下：

使用泵引理证明语言 L 是不规则的，其中 L 是字母表 {0,1,$} 上的语言。

L = { XW$WY | X,Y ∈ {0,1} ^* , W ∈ {0,1} ⁺ }

我的方法是选择一个字符串 S = 0 ^p $0 ^p其中 X 和 Y 等于 Э，P 是泵送长度。
现在，让我们将字符串分成 3 部分，我们称它们为 Y1、Y2、Y3。

为了满足抽水引理的条件，这 3 个部分的串联必须具有 > P 的长度，并且 |Y2| > 0，并且 |Y1Y2| <= P。

所以我们的 Y1 和 Y2 将只包含 0，而 Y3 将是 $0 ^p 。 所以，我们的字符串看起来像这样： 0 ⁱ 0 ^j $0 ^p其中 i+j <= P。显然抽 Y2(0 ^j ) 会改变第一个 W 的长度，所以新字符串 Y1Y2 ⁱ Y3 不属于 L。但令我困惑的是，我们总是可以改变 X 以使第一个 W 等于第二个。 所以，无论 i 是什么，我们总是可以假设长度的差异实际上是因为 X。我错过了什么吗？

Answer 1

是的，由于您解释的原因，您选择的字符串是错误的：您无法确定 X 是什么。 但是，我们可以强制选择 X。 考虑 1 0^p $ 1 0^p。 这只能是 X = 空和 Y = 空的语言中的字符串。 抽 v 只能影响 $ 之前的前缀，并且总是会导致字符串不在语言中，这是矛盾的。