我們如何使用抽水引理證明這種語言是不規則的？

Question

在解決時，我遇到了一個棘手的問題，要求我使用抽水引理證明某種語言是不規則的。 這個問題如下：

使用泵引理證明語言 L 是不規則的，其中 L 是字母表 {0,1,$} 上的語言。

L = { XW$WY | X,Y ∈ {0,1} ^* , W ∈ {0,1} ⁺ }

我的方法是選擇一個字符串 S = 0 ^p $0 ^p其中 X 和 Y 等於 Э，P 是泵送長度。
現在，讓我們將字符串分成 3 部分，我們稱它們為 Y1、Y2、Y3。

為了滿足抽水引理的條件，這 3 個部分的串聯必須具有 > P 的長度，並且 |Y2| > 0，並且 |Y1Y2| <= P。

所以我們的 Y1 和 Y2 將只包含 0，而 Y3 將是 $0 ^p 。 所以，我們的字符串看起來像這樣： 0 ⁱ 0 ^j $0 ^p其中 i+j <= P。顯然抽 Y2(0 ^j ) 會改變第一個 W 的長度，所以新字符串 Y1Y2 ⁱ Y3 不屬於 L。但令我困惑的是，我們總是可以改變 X 以使第一個 W 等於第二個。 所以，無論 i 是什么，我們總是可以假設長度的差異實際上是因為 X。我錯過了什么嗎？

Answer 1

是的，由於您解釋的原因，您選擇的字符串是錯誤的：您無法確定 X 是什么。 但是，我們可以強制選擇 X。 考慮 1 0^p $ 1 0^p。 這只能是 X = 空和 Y = 空的語言中的字符串。 抽 v 只能影響 $ 之前的前綴，並且總是會導致字符串不在語言中，這是矛盾的。