为什么 ifft2 不工作但 fft2 很好？

Question

我想使用 DFT 矩阵实现 ifft2。 以下代码适用于 fft2。

import numpy as np

def DFT_matrix(N):
    i, j = np.meshgrid(np.arange(N), np.arange(N))
    omega = np.exp( - 2 * np.pi * 1j / N )
    W = np.power( omega, i * j ) # Normalization by sqrt(N) Not included
    return W

sizeM=40
sizeN=20
np.random.seed(0)
rA=np.random.rand(sizeM,sizeN)

rAfft=np.fft.fft2(rA)


dftMtxM=DFT_matrix(sizeM)
dftMtxN=DFT_matrix(sizeN)

# Matrix multiply the 3 matrices together 
mA = dftMtxM @ rA @ dftMtxN


print(np.allclose(np.abs(mA), np.abs(rAfft)))
print(np.allclose(np.angle(mA), np.angle(rAfft)))

要到达 ifft2，我假设我只需要将 dft 矩阵更改为它的转置，所以期望以下工作，但我对最后两个打印错误有任何建议吗？

import numpy as np

def DFT_matrix(N):
    i, j = np.meshgrid(np.arange(N), np.arange(N))
    omega = np.exp( - 2 * np.pi * 1j / N )
    W = np.power( omega, i * j ) # Normalization by sqrt(N) Not included
    return W

sizeM=40
sizeN=20
np.random.seed(0)
rA=np.random.rand(sizeM,sizeN)

rAfft=np.fft.ifft2(rA)


dftMtxM=np.conj(DFT_matrix(sizeM))
dftMtxN=np.conj(DFT_matrix(sizeN))

# Matrix multiply the 3 matrices together 
mA = dftMtxM @ rA @ dftMtxN


print(np.allclose(np.abs(mA), np.abs(rAfft)))
print(np.allclose(np.angle(mA), np.angle(rAfft)))

Answer 1

我将根据我对您上一个问题的回答来构建一些东西。 请注意，我将尝试区分离散傅里叶变换（ DFT ）和快速傅里叶变换（ FFT ）这两个术语。 请记住， DFT是一种变换，而FFT只是一种执行它的有效算法。 包括我自己在内的人们通常将DFT称为FFT ，因为它实际上是用于计算DFT的唯一算法

这里的问题再次是数据的规范化。 有趣的是，这是任何DFT操作中如此基本且令人困惑的部分，但我在互联网上找不到很好的解释。 我将尝试在最后提供一个关于DFT规范化的总结，但我认为理解这一点的最好方法是自己研究一些例子。

为什么比较失败？

需要注意的是，尽管两个allclose测试看似都失败了，但它们实际上并不是比较两个复数 arrays 的好方法。

两个角度之间的差异

特别是，问题在于比较角度。 如果你只取-pi和pi边界上的两个近角的差，你可以得到一个大约2*pi的值。 allclose只取值之间的差异并检查它们是否低于某个阈值。 因此，在我们的案例中，它可以报告假阴性。

比较角度的更好方法是沿此 function 的路线：

def angle_difference(a, b):
    diff = a - b
    diff[diff < -np.pi] += 2*np.pi
    diff[diff > np.pi] -= 2*np.pi
    return diff

然后，您可以获取最大绝对值并检查它是否低于某个阈值：

np.max(np.abs(angle_difference(np.angle(mA), np.angle(rAfft)))) < threshold

在您的示例中，最大差异为3.072209153742733e-12 。

所以角度实际上是正确的！

幅度缩放

当我们查看矩阵iDFT和库iFFT之间的幅度比时，我们可以了解这个问题。

print(np.abs(mA)/np.abs(rAfft))

我们发现mA中的所有值都是800 ，这意味着我们的绝对值比库计算的值大800倍。 可疑的是， 800 = 40 * 20 ，我们数据的维度。 我想你可以看到我要去哪里。

令人困惑的DFT归一化

当我们查看取自Numpy FFT文档的FFT公式时，我们发现了一些迹象表明为什么会出现这种情况：

您会注意到，虽然前向变换没有通过任何方式进行归一化。 逆变换将 output 除以1/N 。 这些是 1D FFTs ，但同样适用于 2D 情况，逆变换将所有内容乘以1/(N*M)

所以在我们的例子中，如果我们更新这条线，我们将得到一致的幅度：

mA = dftMtxM @ rA/(sizeM * sizeN) @ dftMtxN

关于比较输出的旁注，比较复数的另一种方法是比较实部和虚部：

print(np.allclose(mA.real, rAfft.real))
print(np.allclose(mA.imag, rAfft.imag))

我们发现现在这两种方法确实是一致的。

为什么所有这些标准化混乱，我应该使用哪个？

DFT 变换必须满足的基本性质是iDFT(DFT(x)) = x 。 当您进行数学运算时，您会发现总和之前的两个系数的乘积必须是1/N 。

还有一个叫做Parseval 定理的东西。 简而言之，它指出信号中的能量只是时域和频域中的平方绝对值之和。 对于FFT ，这归结为这种关系：

这是用于计算信号能量的 function：

def energy(x):
    return np.sum(np.abs(x)**2)

您基本上面临关于1/N因子的选择：

1. 您可以将1/N放在DFT sum 之前。 这是有道理的，因为k=0 DC 分量将等于时域值的平均值。 但是，您必须将频域中的能量乘以N才能将其与时域频率匹配。

    N = len(x) X = np.fft.fft(x)/N # Compute the FFT scaled by `1/N` # Energy related by `N` np.allclose(energy(x), energy(X) * N) == True # Perform some processing... Y = X * H y = np.fft.ifft(Y*N) # Compute the iFFT, remember to cancel out the built in `1/N` of ifft

2. 您将1/N放在iDFT之前。 这是，有点违反直觉，大多数实现，包括 Numpy 所做的。 这背后的原因我无法找到明确的共识，但我认为这与实施效率有关。 （如果有人对此有更好的解释，请在评论中留下）如前面的等式所示，频域中的能量必须除以N以匹配时域能量。

    N = len(x) X = np.fft.fft(x) # Compute the FFT without scaling # Energy, related by 1/N np.allclose(energy(x), energy(X) / N) == True # Perform some processing... Y = X * H y = np.fft.ifft(Y) # Compute the iFFT with the build in `1/N`

3. 您可以通过在每个变换之前放置1/sqrt(N)来拆分1/N ，从而使它们完全对称。 在Numpy中，您可以为fft函数提供参数norm="ortho" ，这将使它们使用1/sqrt(N)归一化： np.fft.fft(x, norm="ortho")这里的好属性是能量现在在两个域中匹配。

    X = np.fft.fft(x, norm='orth') # Compute the FFT scaled by `1/sqrt(N)` # Perform some processing... # Energy are equal: np.allclose(energy(x), energy(X)) == True Y = X * H y = np.fft.ifft(Y, norm='orth') # Compute the iFFT, with scaling by `1/sqrt(N)`

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最后归结为你需要什么。 大多数时候，你的DFT的绝对大小实际上并不那么重要。 您最感兴趣的是各种分量的比率，或者您想在频域中执行一些操作，然后转换回时域，或者您对相位（角度）感兴趣。 在所有这些情况下，只要您保持一致，规范化并不会真正发挥重要作用。