使用 Python 的 fsolve 函数求解非线性方程组

Question

我正在使用 scipy.optimize 的函数fsolve来求解两个方程中的两个未知数。 我最终要解决的方程式（复杂得多），但我已经很难理解以下基本示例。

import scipy.optimize as scopt

def fun(variables) :
    (x,y) = variables
    eqn_1 = x ** 2 + y - 4
    eqn_2 = x + y ** 2 +3
    return [eqn_1, eqn_2]

result = scopt.fsolve(fun, (0.1, 1)) 
print(result)

这给出了结果[-2.08470396 -0.12127194] ，但是当我将这些数字重新插入函数时（一次假设第一个表示为 x，一次假设第一个表示为 y），我得到的结果与零非常不同。

print((-2.08470396)**2 - 0.12127194 - 4)
print((-2.08470396) + (- 0.12127194) ** 2 + 3)

结果 0.22 和 0.93。

print((-0.12127194)**2 -2.08470396 - 4)
print((-0.12127194) + (-2.08470396) ** 2 + 3)

结果 -6.06 和 7.22。

我在这里想念什么？

Answer 1

您是否注意到运行result = scopt.fsolve(fun, (0.1, 1))时生成的警告？ 该警告告诉您某些事情失败了：

In [35]: result = scopt.fsolve(fun, (0.1, 1))
/Users/warren/a202111/lib/python3.9/site-packages/scipy/optimize/minpack.py:175: RuntimeWarning: The iteration is not making good progress, as measured by the 
  improvement from the last ten iterations.
  warnings.warn(msg, RuntimeWarning)

问题是fun(variables) = (0, 0)没有解决方案。 第一个方程给出y = 4-x**2 ，然后第二个方程可以写成x + (4-x**2)**2 + 3 = 0 ，它没有真正的解（你可以绘制左边一边或做一些代数来说服自己）。

如果你使用eqn_2 = x + y ** 2 - 3 ， fsolve给出一个有效的数值解：

In [36]: def fun(variables) :
    ...:     (x,y) = variables
    ...:     eqn_1 = x ** 2 + y - 4
    ...:     eqn_2 = x + y ** 2 - 3
    ...:     return [eqn_1, eqn_2]
    ...: 

In [37]: result = scopt.fsolve(fun, (0.1, 1))

In [38]: result
Out[38]: array([-1.38091841,  2.09306436])

In [39]: fun(result)
Out[39]: [0.0, 0.0]