使用 python 和 numpy 的梯度下降

Question

def gradient(X_norm,y,theta,alpha,m,n,num_it):
    temp=np.array(np.zeros_like(theta,float))
    for i in range(0,num_it):
        h=np.dot(X_norm,theta)
        #temp[j]=theta[j]-(alpha/m)*(  np.sum( (h-y)*X_norm[:,j][np.newaxis,:] )  )
        temp[0]=theta[0]-(alpha/m)*(np.sum(h-y))
        temp[1]=theta[1]-(alpha/m)*(np.sum((h-y)*X_norm[:,1]))
        theta=temp
    return theta



X_norm,mean,std=featureScale(X)
#length of X (number of rows)
m=len(X)
X_norm=np.array([np.ones(m),X_norm])
n,m=np.shape(X_norm)
num_it=1500
alpha=0.01
theta=np.zeros(n,float)[:,np.newaxis]
X_norm=X_norm.transpose()
theta=gradient(X_norm,y,theta,alpha,m,n,num_it)
print theta

上面代碼中的 theta 是100.2 100.2 ，但在 matlab 中它應該是100.2 61.09這是正確的。

Answer 1

我認為你的代碼有點過於復雜，需要更多的結構，否則你將失去所有方程和操作。 最后，這個回歸歸結為四個操作：

1. 計算假設h = X * theta
2. 計算損失= h - y，可能是平方成本（損失^ 2）/ 2m
3. 計算梯度= X'*損失/ m
4. 更新參數theta = theta - alpha * gradient

在你的情況下，我猜你和n混淆了m 。 這里m表示訓練集中的示例數，而不是特征數。

我們來看看我的代碼變體：

import numpy as np
import random

# m denotes the number of examples here, not the number of features
def gradientDescent(x, y, theta, alpha, m, numIterations):
    xTrans = x.transpose()
    for i in range(0, numIterations):
        hypothesis = np.dot(x, theta)
        loss = hypothesis - y
        # avg cost per example (the 2 in 2*m doesn't really matter here.
        # But to be consistent with the gradient, I include it)
        cost = np.sum(loss ** 2) / (2 * m)
        print("Iteration %d | Cost: %f" % (i, cost))
        # avg gradient per example
        gradient = np.dot(xTrans, loss) / m
        # update
        theta = theta - alpha * gradient
    return theta


def genData(numPoints, bias, variance):
    x = np.zeros(shape=(numPoints, 2))
    y = np.zeros(shape=numPoints)
    # basically a straight line
    for i in range(0, numPoints):
        # bias feature
        x[i][0] = 1
        x[i][1] = i
        # our target variable
        y[i] = (i + bias) + random.uniform(0, 1) * variance
    return x, y

# gen 100 points with a bias of 25 and 10 variance as a bit of noise
x, y = genData(100, 25, 10)
m, n = np.shape(x)
numIterations= 100000
alpha = 0.0005
theta = np.ones(n)
theta = gradientDescent(x, y, theta, alpha, m, numIterations)
print(theta)

首先，我創建一個小的隨機數據集，它應該如下所示：

如您所見，我還添加了生成的回歸線和由excel計算的公式。

你需要使用梯度下降來關注回歸的直覺。 當您對數據X進行完整的批量傳遞時，您需要將每個示例的m-loss減少到單個權重更新。 在這種情況下，這是梯度上的總和的平均值，因此除以m 。

接下來需要注意的是跟蹤收斂並調整學習率。 就此而言，您應該始終跟蹤每次迭代的成本，甚至可以繪制它。

如果你運行我的例子，返回的theta將如下所示：

Iteration 99997 | Cost: 47883.706462
Iteration 99998 | Cost: 47883.706462
Iteration 99999 | Cost: 47883.706462
[ 29.25567368   1.01108458]

這實際上非常接近由excel計算的等式（y = x + 30）。 請注意，當我們將偏差傳遞到第一列時，第一個θ值表示偏置權重。

Answer 2

下面你可以找到我對線性回歸問題的梯度下降的實現。

首先，您計算梯度，如XT * (X * w - y) / N並同時使用此漸變更新當前的θ。

• X：特征矩陣
• y：目標值
• w：重量/值
• N：訓練集的大小

這是python代碼：

import pandas as pd
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import random

def generateSample(N, variance=100):
    X = np.matrix(range(N)).T + 1
    Y = np.matrix([random.random() * variance + i * 10 + 900 for i in range(len(X))]).T
    return X, Y

def fitModel_gradient(x, y):
    N = len(x)
    w = np.zeros((x.shape[1], 1))
    eta = 0.0001

    maxIteration = 100000
    for i in range(maxIteration):
        error = x * w - y
        gradient = x.T * error / N
        w = w - eta * gradient
    return w

def plotModel(x, y, w):
    plt.plot(x[:,1], y, "x")
    plt.plot(x[:,1], x * w, "r-")
    plt.show()

def test(N, variance, modelFunction):
    X, Y = generateSample(N, variance)
    X = np.hstack([np.matrix(np.ones(len(X))).T, X])
    w = modelFunction(X, Y)
    plotModel(X, Y, w)


test(50, 600, fitModel_gradient)
test(50, 1000, fitModel_gradient)
test(100, 200, fitModel_gradient)

Answer 3

這些答案中的大多數都遺漏了一些關於線性回歸的解釋，而且代碼在我看來有點復雜。

問題是，如果您有一個包含“m”個樣本的數據集，每個樣本稱為“x^i”（n 維向量），以及一個結果向量 y（m 維向量），您可以構建以下矩陣：

現在，目標是找到“w”（n+1 維向量），它描述了線性回歸的直線，“w_0”是常數項，“w_1”等等是每個維度（特征）的系數在輸入樣本中。 所以本質上，你想要找到“w”使得“X*w”盡可能接近“y”，即你的線預測將盡可能接近原始結果。

另請注意，我們在每個“x^i”的開頭添加了一個額外的組件/維度，它只是“1”，以說明常數項。 此外，“X”只是您通過將每個結果“堆疊”為一行而獲得的矩陣，因此它是一個（m x n+1）矩陣。

一旦你構建了它，梯度下降的 Python 和 Numpy 代碼實際上非常簡單：

def descent(X, y, learning_rate = 0.001, iters = 100):
w = np.zeros((X.shape[1], 1))
for i in range(iters):
    grad_vec = -(X.T).dot(y - X.dot(w))
    w = w - learning_rate*grad_vec
return w

瞧，它返回向量“w”。 或您的預測線的描述。

但是它是如何工作的呢？ 在上面的代碼中，我找到成本 function 的梯度向量（在本例中為平方差），然后我們“逆流”，找到最佳“w”給出的最小成本。 實際使用的公式在行中

grad_vec = -(X.T).dot(y - X.dot(w))

有關完整的數學解釋和包括創建矩陣的代碼，請參閱這篇關於如何在 Python 中實現梯度下降的帖子。

編輯：為了說明，上面的代碼估計了一條線，您可以使用它來進行預測。 下圖顯示了來自 Kaggle 的“魚市”數據集的“學習”梯度下降線（紅色）和原始數據樣本（藍色散點）的示例。

Answer 4

我知道這個問題已經回答了，但我對GD功能進行了一些更新：

  ### COST FUNCTION

def cost(theta,X,y):
     ### Evaluate half MSE (Mean square error)
     m = len(y)
     error = np.dot(X,theta) - y
     J = np.sum(error ** 2)/(2*m)
     return J

 cost(theta,X,y)



def GD(X,y,theta,alpha):

    cost_histo = [0]
    theta_histo = [0]

    # an arbitrary gradient, to pass the initial while() check
    delta = [np.repeat(1,len(X))]
    # Initial theta
    old_cost = cost(theta,X,y)

    while (np.max(np.abs(delta)) > 1e-6):
        error = np.dot(X,theta) - y
        delta = np.dot(np.transpose(X),error)/len(y)
        trial_theta = theta - alpha * delta
        trial_cost = cost(trial_theta,X,y)
        while (trial_cost >= old_cost):
            trial_theta = (theta +trial_theta)/2
            trial_cost = cost(trial_theta,X,y)
            cost_histo = cost_histo + trial_cost
            theta_histo = theta_histo +  trial_theta
        old_cost = trial_cost
        theta = trial_theta
    Intercept = theta[0] 
    Slope = theta[1]  
    return [Intercept,Slope]

res = GD(X,y,theta,alpha)

此函數在迭代過程中減少alpha，使得函數過於快速收斂，請參閱使用梯度下降（最速下降）估算線性回歸，以獲得R中的示例。我在Python中應用相同的邏輯。

Answer 5

在python中執行@ thomas-jungblut之后，我為Octave做了同樣的事情。 如果您發現錯誤請告訴我，我將修復+更新。

數據來自包含以下行的txt文件：

1 10 1000
2 20 2500
3 25 3500
4 40 5500
5 60 6200

把它想象成一個非常粗略的特征樣本[卧室數量] [mts2]和最后一列[租金價格]這是我們想要預測的。

這是Octave實現：

%
% Linear Regression with multiple variables
%

% Alpha for learning curve
alphaNum = 0.0005;

% Number of features
n = 2;

% Number of iterations for Gradient Descent algorithm
iterations = 10000

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% No need to update after here
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

DATA = load('CHANGE_WITH_DATA_FILE_PATH');

% Initial theta values
theta = ones(n + 1, 1);

% Number of training samples
m = length(DATA(:, 1));

% X with one mor column (x0 filled with '1's)
X = ones(m, 1);
for i = 1:n
  X = [X, DATA(:,i)];
endfor

% Expected data must go always in the last column  
y = DATA(:, n + 1)

function gradientDescent(x, y, theta, alphaNum, iterations)
  iterations = [];
  costs = [];

  m = length(y);

  for iteration = 1:10000
    hypothesis = x * theta;

    loss = hypothesis - y;

    % J(theta)    
    cost = sum(loss.^2) / (2 * m);

    % Save for the graphic to see if the algorithm did work
    iterations = [iterations, iteration];
    costs = [costs, cost];

    gradient = (x' * loss) / m; % /m is for the average

    theta = theta - (alphaNum * gradient);
  endfor    

  % Show final theta values
  display(theta)

  % Show J(theta) graphic evolution to check it worked, tendency must be zero
  plot(iterations, costs);

endfunction

% Execute gradient descent
gradientDescent(X, y, theta, alphaNum, iterations);