FFT和FFT的逆

Question

我是一名從事電信項目的計算機程序員。
在我們的項目中，我必須將一系列復數轉換為傅里葉變換。因此我需要一個有效的C89標准FFT代碼。
我使用以下代碼，它運作良好：

    short FFT(short int dir,long m,double *x,double *y)
{
   long n,i,i1,j,k,i2,l,l1,l2;
   double c1,c2,tx,ty,t1,t2,u1,u2,z;

   /* Calculate the number of points */
   n = 1;
   for (i=0;i<m;i++) 
      n *= 2;

   /* Do the bit reversal */
   i2 = n >> 1;
   j = 0;
   for (i=0;i<n-1;i++) {
      if (i < j) {
         tx = x[i];
         ty = y[i];
         x[i] = x[j];
         y[i] = y[j];
         x[j] = tx;
         y[j] = ty;
      }
      k = i2;
      while (k <= j) {
         j -= k;
         k >>= 1;
      }
      j += k;
   }

   /* Compute the FFT */
   c1 = -1.0; 
   c2 = 0.0;
   l2 = 1;
   for (l=0;l<m;l++) {
      l1 = l2;
      l2 <<= 1;
      u1 = 1.0; 
      u2 = 0.0;
      for (j=0;j<l1;j++) {
         for (i=j;i<n;i+=l2) {
            i1 = i + l1;
            t1 = u1 * x[i1] - u2 * y[i1];
            t2 = u1 * y[i1] + u2 * x[i1];
            x[i1] = x[i] - t1; 
            y[i1] = y[i] - t2;
            x[i] += t1;
            y[i] += t2;
         }
         z =  u1 * c1 - u2 * c2;
         u2 = u1 * c2 + u2 * c1;
         u1 = z;
      }
      c2 = sqrt((1.0 - c1) / 2.0);
      if (dir == 1) 
         c2 = -c2;
      c1 = sqrt((1.0 + c1) / 2.0);
   }

   /* Scaling for forward transform */
   if (dir == 1) {
      for (i=0;i<n;i++) {
         x[i] /= n;
         y[i] /= n;
      }
   }

   return(true);
}

但是這段代碼只支持大小為2^m數組。就像CLRS書籍代碼一樣。
我們應該轉換的數組不在這個范圍內，加零將是昂貴的，所以我正在尋找另一種解決方案，幫助我輸入任何大小。
像IT++和matlab那樣的東西。 但是正如我們希望它在純C中使用它們是不可能的。而且， IT++代碼在我檢查時被阻止了

Answer 1

如果您正在開發任何大眾市場計算平台（帶有Windows或OS X，iOS等的英特爾），那么供應商或制造商就會提供高性能的FFT實現。

否則，您應該評估FFTW 。

為2的冪以外的大小編寫高性能FFT是一項復雜的任務。

如果您打算使用自己的實現，那么，僅關於兩種功能：

您顯示的實現在FFT期間計算sqrt 。 大多數高性能FFT實現會提前計算常量並將它們存儲在表中。

縮放包含除法運算，在x[i] /= n和y[i] /= n 。 編譯器可能將這些實現為除法指令。 分區通常是對通用處理器的慢速指令。 計算scale = 1. / n一次並乘以scale而不是除以n會更好。

更好的是完全省略比例。 變換通常在沒有比例的情況下有用，或者可以從單個變換中省略比例，並且僅作為聚合比例應用一次。 （例如，不是進行兩次縮放操作，一次在正向FFT中，一次在逆FFT中，而是將縮放操作保留在FFT例程之外，並且在正向FFT和反向FFT之后只執行一次。）

如果可以接受以頻率反轉順序排列頻域數據，則可以省略位反轉置換。

如果保持位反轉置換，則可以對其進行優化。 執行此操作的技術取決於平台。 一些平台具有反轉整數位的指令（例如，ARM具有rbit ）。 如果您的平台沒有，您可能希望將位反轉索引保留在表中，或者比當前代碼更快地研究計算它們的方法。

如果同時保持位反轉置換和縮放，則應考慮同時執行它們。 置換使用大量內存運動，縮放使用處理器的算術單元。 大多數現代處理器可以同時執行這兩種處理，因此您可以從重疊操作中獲得一些好處。

您當前的代碼使用基數為2的蝴蝶。 Radix-4通常更好，因為它可以通過改變i來實現，只需改變使用哪個數據並將一些加法改為減法，反之亦然。

如果您的陣列長度接近處理器上的第一級內存緩存的大小，則部分FFT實現將破壞緩存並顯着減慢速度，除非您設計適當的代碼來處理此問題（通常通過將數組的部分臨時復制到緩沖區中） ）。

如果您的目標處理器具有SIMD功能，您絕對應該使用FFT中的功能; 它們極大地加速了FFT性能。

以上內容應該告訴您，編寫高效的FFT是一項復雜的任務。 除非您想花費大量精力，否則最好使用FFTW或其他現有實現。

Answer 2

在您的實現中，我擔心這段代碼：

     z =  u1 * c1 - u2 * c2;
     u2 = u1 * c2 + u2 * c1;
     u1 = z;

當l1很大時，（u1，u2）會受到許多累積的舍入誤差的影響。 您可能會得到一個不准確的轉換。

我贊同FFTW的建議，但我相信它是高度特定於平台的。 （大多數FFT庫都是。）[ 編輯 ：不，它實際上是直接的C89。 這正是你所說的你想要的。]

Wikipedia FFT頁面列出了一系列適用於奇怪大小的輸入數組的算法。 我不知道它們是如何工作的，但我相信一般的想法是你使用Rader的算法或Bluestein算法進行素數大小的輸入，而Cooley-Tukey則將復合大小的變換用於一堆大小的變換。

Answer 3

對於FFTW的替代方案，請檢查我的mix-radix FFT，它也處理非2 ^ N FFT長度。 C源可從http://www.corix.dk/Mix-FFT/mix-fft.html獲得 。