在Python中將指數曲線擬合到數值數據

Question

我有一組數據，我想使用python擬合指數曲線。 我看了幾個例子，然后想出了以下腳本。

from pylab import rc
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
from scipy import optimize


def model_func(t, A, K, C):
    return A * np.exp(-K*t) + C

def fit_exp_nonlinear(t, y):
    opt_parms, parm_cov = optimize.curve_fit(model_func, t, y, maxfev=10000)
    A, K, C = opt_parms
    return A, K, C


pi_1_3 = np.array([186774.67608906,  119480.98881671,   81320.7163753 ,
         58031.00546565,   42990.04111078,   32826.01571713,
         25700.16102843,   20548.41187945,   16726.83116009,
         13828.25419449,   11587.30623606,    9825.34010814,
          8419.5903399 ,    7283.07702701,    6353.54595154,
          5585.14190098,    4943.96579672,    4404.19434404,
          3946.30532107,    3555.02206224,    3218.38622266,
          2927.06387001,    2673.47535718,    2451.61460839,
          2256.54734046,    2084.28211566,    1931.48280645,
          1795.43700167,    1673.85361378,    1564.82468004,
          1466.7273566 ,    1378.20995936,    1298.09333835,
          1225.40136541,    1159.27214181,    1098.96372522,
          1043.84974141,     993.36880068,     947.04676203,
           904.45522954,     865.23010028,     829.04001802,
           795.60459963,     764.66375969,     735.99814339,
           709.40108872,     684.69988262,     661.73223448,
           640.35399121,     620.44025093,     601.87371066,
           584.54929565,     568.37272058,     553.26381714,
           539.14562691,     525.94472176,     513.59920745,
           502.05319667,     491.25259209,     481.15219684,
           471.70448455,     462.87002943,     454.61638734,
           446.90526636,     439.70525636,     432.99373968,
           426.73945924,     420.91972403,     415.50905545,
           410.49218343,     405.84570284,     401.55105219,
           397.59401523,     393.95737052,     390.62344145,
           387.58306896,     384.81946995,     382.319658  ,
           380.06982549,     378.05960051,     376.27758291,
           374.70924213,     373.34528829,     372.17106384,
           371.17691362,     370.34772485,     369.67316117,
           369.13731143,     368.72679983,     368.42660804,
           368.22202786,     368.09453347,     368.02778592,
           368.00352008,     367.99947609])


pi_2_3 = np.array([ 0.96762688,  0.96645461,  0.96574696,  0.96541101,  0.96521801,
        0.96519657,  0.96540386,  0.96556112,  0.96589707,  0.96634024,
        0.96686919,  0.9675554 ,  0.96833452,  0.96922802,  0.97023588,
        0.97134382,  0.97257327,  0.97390279,  0.97534668,  0.97689778,
        0.97855611,  0.98032166,  0.98219442,  0.98417441,  0.98626876,
        0.98846319,  0.99076483,  0.9931737 ,  0.99556112,  0.99834167,
        1.00103645,  1.00386705,  1.00680486,  1.00985704,  1.012995  ,
        1.01623302,  1.01956397,  1.022995  ,  1.02651894,  1.03015726,
        1.0338456 ,  1.03764832,  1.04152966,  1.04549678,  1.04953538,
        1.05365261,  1.05784132,  1.0621015 ,  1.06641887,  1.07080057,
        1.07523231,  1.07970693,  1.0842173 ,  1.08877055,  1.09335239,
        1.09794853,  1.10255897,  1.10716941,  1.11177269,  1.11636169,
        1.12092924,  1.12546104,  1.12994282,  1.13437455,  1.13874196,
        1.14303074,  1.14723374,  1.15132952,  1.15531094,  1.15917798,
        1.16290922,  1.1664975 ,  1.16992852,  1.17320229,  1.1763045 ,
        1.17922087,  1.18195854,  1.18450322,  1.18686204,  1.18902073,
        1.19097212,  1.19273052,  1.19429593,  1.19566833,  1.19686204,
        1.19787706,  1.19872051,  1.19941387,  1.19997141,  1.20040029,
        1.20070765,  1.20092924,  1.20108649,  1.20118656,  1.20125804])



A, K, C = fit_exp_nonlinear(pi_2_3,pi_1_3)

fit_y = model_func(pi_2_3, A, K, C)

print A, K, C


fig = plt.figure(num=None, figsize=(8,16), dpi=80, facecolor='w', edgecolor='k', linewidth= 2.0, frameon=True)



fig = plt.xlabel(r'$\pi_1$', fontsize=17)
fig = plt.ylabel(r'$\pi_2$', fontsize=17)
fig = plt.autoscale(enable=True, axis='both', tight=False)
#fig = plt.ylim(0, 5)
#fig = plt.xlim(-0.1, 5e+7)

fig = plt.plot(pi_2_3, pi_1_3, linewidth=1.5, color='g', linestyle = '--', marker='s', markeredgecolor='g', markerfacecolor='white', label='measured')

fig = plt.plot(pi_2_3, fit_y, linewidth=1.5, color='k', linestyle = '-', marker='', markeredgecolor='k', markerfacecolor='white', label='fitted')


fig=plt.legend()

figE = plt.show()

但是，可以看出，似乎A，K和C的估算值不夠好（？）。 有沒有更好的方法可以將指數曲線擬合到這些數據？

此外，python中是否有用於非線性回歸分析的庫？

提前多謝

喬

Answer 1

您的身體不好，原因有兩個：

1. 您的模型並非特別適合您的數據。
2. 該擬合在數值上不適。

通過將常數A移到指數exp(-K*(t - t_0)) + C ，可以改善模型的數值條件。 用這種方法得到的結果與使用指數模型得到的結果差不多。 擬合日志空間也無濟於事（只要您的模型中具有加性常數C ，這實際上不是一個選擇）。

Answer 2

有時， optimize.curve_fit需要一些幫助，以初步猜測正確的參數。 通過指定p0參數將猜測傳遞給curve_fit 。

您可能有一些獨立的方法可以根據理論或經驗猜測A，K，C。 例如，如果您的-K*t值非常大（且為負）， model_func當t很大時，您可以將C估計為model_func的值，因為A * np.exp(-K * t)項應為零（假設K不是非常小）。 無論如何，該理論應該告訴您A，K，C的哪些值是合理的。 您可以將其用作猜測。

這是一種兩遍方法， 似乎無需任何先驗猜測即可工作。 它首先嘗試針對沒有常數項的partial_func模型擬合數據。 然后，它將來自該擬合的A和K參數用作對model_func的curve_fit的猜測：

def model_func(t, A, K, C):
    return A * np.exp(-K * t) + C


def partial_func(t, A, K):
    return A * np.exp(-K * t)


def fit_exp_nonlinear(t, y):
    opt_parms, parm_cov = optimize.curve_fit(partial_func, t, y, maxfev=10000) 
    A, K = opt_parms
    opt_parms, parm_cov = optimize.curve_fit(model_func, t, y, p0=(A, K, 0))
    A, K, C = opt_parms
    return A, K, C

產量

A, K, C = (2.3961062737821128e+73, 163.82812722558725, 338.80276054827715)

擬合度不是很好，但是考慮到數據看起來不是非常接近於指數，它可能會達到最佳效果。