使用徑向基函數插值球面上的函數

Question

首先，一點背景：

我使用球面諧波作為球體表面上的函數示例，如此圖像中的前球體：

我制作了這些球體中的一個，根據其表面上的點處的諧波函數的值着色。 我首先做了很多點，所以我的功能非常准確。 我稱之為我的fine球體。

現在我擁有了fine球體，我在球體上占據了相對較少的點數。 這些是我想要插入的點，訓練數據，我稱之為interp點。 這是我的interp點，顏色與他們的值，繪制在我的fine球體上。

現在，該項目的目標是使用這些interp點來訓練SciPy徑向基函數以在球體上插入我的函數。 我能夠這樣做：

# Train the interpolation using interp coordinates
rbf = Rbf(interp.phi, interp.theta, harmonic13_coarse)
# The result of the interpolation on fine coordinates
interp_values = rbf(fine.phi, fine.theta)

哪個產生了這個插值，繪制在球體上：

希望通過最后一張圖片，您可以看到我的問題。 注意通過插值的線？ 這是因為插值數據具有邊界。 邊界是因為我使用球面坐標（[0，pi]和[0,2pi]處的邊界）訓練徑向基函數。

rbf = Rbf(interp.phi, interp.theta, harmonic13_coarse)

我的目標，以及為什么我發布這個問題，是使用球體上數據的x，y，z笛卡爾坐標在球體表面上插入我的函數。 這樣，由於球體沒有邊界，我不會像在球坐標中那樣出現這個邊界誤差。 但是，我只是無法弄清楚如何做到這一點。

我試過簡單地給Rbf函數提供x，y，z坐標和函數的值。

rbf=Rbf(interp.x, interp.y, interp.z, harmonic13_coarse)
interp_values=rbf(fine.x,fine.y,fine.z)

但NumPy卻給我一個奇異矩陣錯誤

numpy.linalg.linalg.LinAlgError: singular matrix

有什么方法可以讓我用笛卡爾坐標給Rbf我的數據站點，每個站點都有函數值，並且它的行為與球面坐標的行為相似但沒有邊界嗎？ 從Rbf文檔中，有用於定義不同距離范數的屬性norm ，我是否必須使用球形距離才能使其工作？

我對此很難過。 如果您對沒有球坐標邊界的球體內插函數有任何想法，請告訴我。

這是我的完整代碼：

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm, colors
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
from scipy import special
from scipy.interpolate import Rbf
from collections import namedtuple
from mayavi import mlab

# Nice aliases
pi = np.pi
cos = np.cos
sin = np.sin

# Creating a sphere in Cartesian and Sphereical
# Saves coordinates as named tuples


def coordinates(r, n):
    phi, theta = np.mgrid[0:pi:n, 0:2 * pi:n]
    Coor = namedtuple('Coor', 'r phi theta x y z')
    r = r
    x = r * sin(phi) * cos(theta)
    y = r * sin(phi) * sin(theta)
    z = r * cos(phi)
    return Coor(r, phi, theta, x, y, z)

# Creating a sphere
# fine is coordinates on a fine grid
# interp is coordinates on coarse grid for training interpolation
fine = coordinates(1, 100j)
interp = coordinates(1, 5j)


# Defining finection to colour sphere
# Here we are using a spherical harmonic
def harmonic(m, n, theta, phi):
    return special.sph_harm(m, n, theta, phi).real
norm = colors.Normalize()

# One example of the harmonic function, for testing
harmonic13_fine = harmonic(1, 3, fine.theta, fine.phi)
harmonic13_coarse = harmonic(1, 3, interp.theta, interp.phi)


# Train the interpolation using interp coordinates
rbf = Rbf(interp.phi, interp.theta, harmonic13_coarse)
# The result of the interpolation on fine coordinates
interp_values = rbf(fine.phi, fine.theta)


rbf=Rbf(interp.x, interp.y, interp.z, harmonic13_coarse)
interp_values=rbf(fine.x,fine.y,fine.z)

#Figure of harmoinc function on sphere in fine cordinates
#Points3d showing interpolation training points coloured to their value
mlab.figure()
vmax, vmin = np.max(harmonic13_fine), np.min(harmonic13_fine)
mlab.mesh(fine.x, fine.y, fine.z, scalars=harmonic13_fine, vmax=vmax, vmin=vmin)
mlab.points3d(interp.x, interp.y, interp.z, harmonic13_coarse,
              scale_factor=0.1, scale_mode='none', vmax=vmax, vmin=vmin)


#Figure showing results of rbf interpolation
mlab.figure()
vmax, vmin = np.max(harmonic13_fine), np.min(harmonic13_fine)
mlab.mesh(fine.x, fine.y, fine.z, scalars=interp_values)
# mlab.points3d(interp.x, interp.y, interp.z, scalars, scale_factor=0.1, scale_mode='none',vmax=vmax, vmin=vmin)

mlab.show()

Answer 1

您看到的邊界是因為您正在將閉合曲面（S2）映射到開放曲面（R2）。 不管怎樣，你都會有界限。 歧管的局部屬性是兼容的，因此它適用於大多數球體，但不適用於全局 ，你得到一條線。

解決它的方法是使用圖集而不是單個圖表。 地圖集是重疊圖表的集合。 在重疊區域中，您需要定義權重，即每個圖表上從0到1的平滑函數。 （對不起，差異幾何可能不是你期望聽到的）。

如果您不想一直走到這里，您可以注意到您的原始球體有一個赤道，其中方差最小。 然后，您可以旋轉精細球體並使其與線條重合。 它不能解決您的問題，但它肯定可以緩解它。

Answer 2

您可以更改標准距離：

def euclidean_norm(x1, x2):
    return np.sqrt( ((x1 - x2)**2).sum(axis=0) )

通過球體距離（例如，參見Python中的這個問題Haversine公式（軸承和兩個GPS點之間的距離） ）。