關於Coq的優化策略

Question

考慮以下幾行（在Coq中）：

Variable A : Type.
Variable  f g : A -> A.
Axiom Hfg : forall x, f x = g x.
Variable a b : A.
Axiom t : g a = g b.
Goal f a = g b.

策略refine (eq_trans (Hfg _) t)解決了目標。 也就是說，Coq可以在沒有幫助a情況下替換孔。 但是戰術refine (eq_trans (Hfg a) _)將上述目標替換為目標ga = gb 。

但是，Coq無法獨自找到t 。 用於refine (eq_trans (Hfg _) _)策略的同上refine (eq_trans (Hfg _) _) 。

Coq是否有特定原因能夠猜測第一個孔而不是第二個孔？

Answer 1

（我不是100％肯定我在這里寫的是什么，但是）Coq從來不會“猜測”任何東西，但是它可以從更復雜的信息中推斷出信息。 您在這里的一般方案是讓Coq使用平等的及物性來解決您的目標。 因此，Coq需要兩個相等的語句才能成功。

在第一種情況下，您需要為Coq提供解決目標所需的一切，即t : ga = gb和Hfg _ : f _ = g _ 。 由於eq_trans強制_為a ，因此沒有什么可證明的。

在第二種情況下，您只輸入coq Hfg a : fa = ga因此它錯過了ga = gb來解決目標。 是的，它在上下文中，但是Coq不會使用自動化，除非您明確要求。

Answer 2

您的目標需要兩個公理Hfg和t 。 如果Coq是明確給出的，或者在提示數據庫中找到了公理，則Coq只會在證明中使用公理。 因此，您的證明需要同時顯示Hfg和t 。

refine (eq_trans (Hfg _) t)包含兩個公理。 Hfg的論點由以下術語的類型決定：

• eq_trans具有形式為?1 = ?2 -> ?2 = ?3 -> ?1 = ?3的類型，並且將t的類型與?2 = ?3統一可得到?2 := ga和?3 := gb 。
• Hfg _的形式為f ?4 = g ?4 ，將其與?1 = ?2統一可得到?4 := a ，從而得到?1 := fa 。

Coq能夠進行這種類型推斷，因此該術語已完全鍵入並完成了證明。

相比之下，在使用refine (eq_trans (Hfg a) _) ，Coq應用給出的值，並在證明中留下了一個漏洞：它需要ga = gb的證明。 這是一個公理，但是Coq不會自動應用它：它使您可以選擇是使用此證明還是該事實的其他證明。

證明這一目標的自然方法是使用rewrite策略 。

Goal f a = g b.
rewrite Hfg.
rewrite t.
reflexivity.
Qed.

通過使用Hint Rewrite聲明公理，然后應用autorewrite可以讓Coq找到合適的autorewrite 。 請注意，自動autorewrite盲目地應用相等性，它不受目標的影響。

Hint Rewrite Hfg t : my_equalities.
Goal f a = g b.
autorewrite with my_equalities.
reflexivity.
Qed.

另外，您也可以應用congruence的策略 ，這需要鏈接多個等式的照顧。 您需要首先將公理納入假設。

Goal f a = g b.
generalize Hfg t; intros.
congruence.
Qed.