Coq 中的析取三段論策略？

Question

我正在學習命題邏輯和推理規則。 析取三段論規則指出，如果我們的前提中有（P 或 Q），並且也有（非 P）； 然后我們可以到達Q。

我一生都無法弄清楚如何在 Coq 中做到這一點。 假設我有：

H : A \/ B
H0 : ~ A
______________________________________(1/1)

我應該使用什么策略來達到

H1 : B.

另外，如果有人能與我分享基本推理規則的 Coq 策略等價物，例如 modus tollens 或分離式介紹等，我會很高興。是否有我可以使用的插件？

Answer 1

Coq內置了這種戰術，但幸運的是你可以定義自己的戰術。 請注意

destruct H as [H1 | H1]; [contradiction |].

將H1 : B放在上下文中，就像你問的那樣。 因此，您可以為此組合策略創建別名：

Ltac disj_syllogism AorB notA B :=
  destruct AorB as [? | B]; [contradiction |].

現在我們可以像這樣輕松模仿析取三段論規則：

Section Foo.
Context (A B : Prop) (H : A \/ B) (H0 : ~ A).
Goal True.
  disj_syllogism H H0 H1.
End Foo.

讓我展示一些不那么自動化的方法：

Ltac disj_syllogism AorB notA B :=
  let A := fresh "A" in
  destruct AorB as [A | B]; [contradiction (notA A) |].

這種方法並沒有要求Coq找到矛盾，它直接提供了contradiction策略（ notA A術語）。 或者我們可以使用具有pose proof策略的明確術語：

Ltac disj_syllogism AorB notA B :=
  pose proof (match AorB with
              | or_introl a => False_ind _ (notA a)
              | or_intror b => b
              end) as B.

我希望這有幫助。 我不確定是否需要一些額外的解釋 - 隨意請求澄清，我會更新我的答案。

Answer 2

根據Anton Trunov的回答，Disjunctive Syllogism的更簡單版本如下：

(* Helper tactics. *) Ltac oe1 P_or_Q not_P := destruct P_or_Q ; [ contradiction | ]. Ltac oe2 P_or_Q not_Q := destruct P_or_Q ; [ | contradiction ].

(* Main tactic *) Ltac oE AorB H := oe1 AorB H || oe2 AorB H.

根據False disjunct是在右邊還是在左邊，幫助策略每個都在一個案例上工作，主要策略嘗試兩者並返回任何一個成功。

Answer 3

我想你可能對Coq如何運作有錯誤的期望？ 證明這一點的一般方法基本上是關於不同可能性的真值表：

Lemma it: forall a b, (a \/ b) /\ ~a -> b.
Proof.
  intuition.
  Show Proof.
Qed.

(fun (a b : Prop) (H : (a \/ b) /\ ~ a) =>
 and_ind
   (fun (H0 : a \/ b) (H1 : ~ a) =>
    or_ind (fun H2 : a => let H3 : False := H1 H2 in False_ind b H3)
      (fun H2 : b => H2) H0) H)

如果查看生成的證明項，您會發現Coq實際上是將構造函數拆分為boolean。 我們可以手動執行此操作並獲得相同的證明條件：

Lemma it: forall a b, (a \/ b) /\ ~a -> b.
Proof.
  intros a b H.
  induction H.
  induction H.
  contradict H. exact H0.
  exact H.
Qed.

雖然例如modus ponens對應於Coq中的一個apply ，但我不認為這是“內置”的任何直接方式。

之后，您可以使用此引理（並且我確定標准庫中的某個地方有相應的版本）通過apply來推導您的其他假設。