如何計算DFS算法的時間復雜度？

Question

像下面的函數一樣，如何計算其時間復雜度？ 我認為應該是O（m * n）...

int uniquePaths(int m, int n) {
    if (m < 1 || n < 1) return 0;     
    if (m == 1 && n == 1) return 1;      
    return uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1);
}

Answer 1

您可以使用遞歸函數T(m,n) = T(m-1, n) + T(m, n-1)建模時間復雜度，其中T(1,1)=1和T(m,n)=0每當min(m,n)<1 。

看起來像T(m,n)=(m+n choose m) 。 可以看到，通過二項式系數的遞歸 ， (m+n choose n) = (m+n-1 choose m) + (m+n-1 choose m-1) ，並且T(m,n) = T(m-1, n) + T(m,n-1)完全相同。

因此T(m,n) = O((m+n)^n / n!) （還有許多其他界限 。）

Answer 2

遞歸樹：

為了表示m = M和n = N的問題，我們將其寫為<M, N> 。 如果我們嘗試繪制此問題的遞歸樹：

• 從根本上講，我們有一個問題： <M, N>
• 然后，root打破了兩個問題： <M-1, N>和<M, N-1>
• 而且，如果我們繼續沿遞歸樹向下移動，將到達<0, 0>葉子。

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樹的深度：

但是，這棵樹最大可能的深度是多少？ 是¹ （M + N）。 此外， 每個節點<M, N>可以中斷至多兩條路徑，即。 <M-1, N>和<M, N-1> 。

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從樹推斷復雜度：

那么，最大可能的葉子數是多少？ （提示：2 ^{（M + N）} ）

好吧，由於每個節點都分解為兩個節點，所以在每個級別上，葉子的數量將乘以2，從根的1開始。

• 因此，從根開始，總數可能為2 ^{（M + N-1）} 。
• 乘以除以2得到（1/2）* 2 ^{（M + N）}
• 擺脫常數值（1/2），我們得到的復雜度= 2 ^{（M + N）} ！

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因此，算法的復雜度可以上限為O（2 ^{（m + n）} ）。

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^{1最長的路徑將從<M, N> ，首先到<0, N> 。 然后從那里轉到<0, 0> 。 因此，最長可能的路徑長度= M +N。}