我如何證明快速排序的主定理

Question

我有一個關於快速排序算法的問題。 有人能解釋一下我是如何得到結果（證明）2T(n/2) + Θ(n) 的嗎？ 這個結果意味着什么：T(n-1) + Θ(n)。

感謝所有的答案。

Answer 1

主定理指出，

對於任何 ,

1. 如果 對於一些常數 ，那么 .
2. 如果 ，那么 .
3. 如果 ，對於一些常數 ，如果 對於一些常數 並且都足夠大 ，那么

至於你的，
,

在這里，
（第二個條件）
所以復雜度將是：

對於你的第二個問題，了解這個功能 ，你需要了解分而治之的方法。 在快速排序中，對於n 個項目，如果您將最后一個值作為主元，則項目數將減少1 ，這會將項目數減少到(n-1) ，現在如果您遞歸調用以最后一個值為基礎的快速排序樞軸，每次將減少一項。 因此復雜度將是 ，當您將中間值作為樞軸時，情況並非如此。

Answer 2

在這里得到這個我將通過 O 解決 T(n-1)+O(N) 我的意思是 theta 所以讓 m=2^n 所以 log(m)=n

現在讓我們聲明一個新函數 S(m)=T(log m)

現在讓我們說

S(m)=S(m/2)+log(m)

現在你同意 S(m/2)+log(m) 等於 T(n-1)+n 嗎？

因為如果 m=2^n 所以 m/2=2^(n-1) 所以 log m(n-1) 我們已經確定 logm=(n)

所以現在我們已經建立了 S(m/2)+log(m)=T(n-1)+n 讓我們用主定理求解 S(m/2)+log(m)擴展案例 2 說明按鏈接查看它，因此如果我們遵循它，我們將得到 log2(1)=0 和 f(m)=logm=O(logm)=O((n^0)*logm)當 k 為 1 時，我們得到 S(m)=O(log^2 m) 或 O(n^2) 已知是快速排序的最壞情況