(w * w^R)^R = w*w^R 的證明

Question

問題：如果w存在於T*中，證明(w * w^R)^R = w * w^R

嗨，我是算法理論的新手，我無法理解如何證明這一點，如果有人能向我暗示正確的方向，我將不勝感激。

注意： R 表示字符串反轉，例如：(abc)^R = cba

另請注意： * 表示連接所以 (abc * def) = abcdef

Answer 1

在一般情況下，嘗試使用群論（您甚至有一個提示：“另請注意：* 表示連接所以(abc * def) = abcdef ”）：

  a, b, c, ...          - (characters)    - group's elements (generators in fact)
  a * b       == ab     - (concatenation) - group's operation
  ε                     - (empty string)  - group's 1 
  a..z**-1    == z..a   - rule for the item reversing; a**-1 == a

到目前為止，很好，字符串反轉是**-1操作，對於我們有的任何ab...yz項：

  (ab...yz)((ab..yz)^R) == ab..yz * zy ..ba == ab..yzzy..ba

    since zz == z * z == ε (z == z**-1) 

  we have

    ab..yzzy..ba == 
    ab..yy..ba == 
    ab..ba ==
    ε

那么你的定理很簡單：將字符串反轉更改為**-1並有

  (w * w**-1)**-1=(w**-1)**-1 * w**-1 == w * w**-1 

對於這種特殊情況，我們建立的組可能有點矯枉過正，但是，它在解決類似問題時非常有用。