(w * w^R)^R = w*w^R 的证明

Question

问题：如果w存在于T*中，证明(w * w^R)^R = w * w^R

嗨，我是算法理论的新手，我无法理解如何证明这一点，如果有人能向我暗示正确的方向，我将不胜感激。

注意： R 表示字符串反转，例如：(abc)^R = cba

另请注意： * 表示连接所以 (abc * def) = abcdef

Answer 1

在一般情况下，尝试使用群论（您甚至有一个提示：“另请注意：* 表示连接所以(abc * def) = abcdef ”）：

  a, b, c, ...          - (characters)    - group's elements (generators in fact)
  a * b       == ab     - (concatenation) - group's operation
  ε                     - (empty string)  - group's 1 
  a..z**-1    == z..a   - rule for the item reversing; a**-1 == a

到目前为止，很好，字符串反转是**-1操作，对于我们有的任何ab...yz项：

  (ab...yz)((ab..yz)^R) == ab..yz * zy ..ba == ab..yzzy..ba

    since zz == z * z == ε (z == z**-1) 

  we have

    ab..yzzy..ba == 
    ab..yy..ba == 
    ab..ba ==
    ε

那么你的定理很简单：将字符串反转更改为**-1并有

  (w * w**-1)**-1=(w**-1)**-1 * w**-1 == w * w**-1 

对于这种特殊情况，我们建立的组可能有点矫枉过正，但是，它在解决类似问题时非常有用。