在 Python 中獲取 Legendre 多項式的導數

Question

我有一個引力勢表達式（此處的方程式 15），要計算軌道，我需要評估引力，即局部梯度，對我來說，這意味着評估勒讓德多項式P2、P4 和P6單值數萬次。

我可以使用這個問題中的表達式來計算它，但我想知道是否有一種方法可以向 python 詢問未明確涉及我將導數評估為有限差分的導數。

我在 SciPy 中找不到任何可以自動執行此操作的東西。 在numpy.polynomial.legendre.Legendre中有一個deriv()方法，但我沒有使用多項式類的經驗。

評估低階勒讓德多項式的一階導數的最快方法是什么，一次一個值適合數值積分？

Answer 1

我知道這是一個老問題，但仍然沒有關於如何使用 numpy/scipy 計算導數的答案。

這就是它僅適用於 numpy 和 scipy 的方式：

from scipy.special import legendre
import numpy as np
n = 2               # degree of Legendre polynomial
poly = legendre(n)  # coefficients of n^th degree Legendre polynomial 
polyd= poly.deriv() # coefficients of derivative of n^th degree Legendre Polynomial
x = np.linspace(0,1,10000)  # arbitrary coordinates
evald = np.polyval(polyd,x) # evaluate derivative at desired coordinates(s)

上面接受的答案也包含一個小錯誤（我無法評論但也許有人可以編輯答案）：導數應該讀作P2' = 3*x

Answer 2

如果您只需要P2 、 P4和P6的導數，那很容易用手計算然后寫下來作為代碼......例如

P2 = .5 * (3 * x^2 - 1)

所以：

P2' = .75 * x

您可以在 python 中將其編寫為：

def P2_deriv(x):
    return .75 * x

事情並沒有比這快很多；-)。 如果你需要任意勒讓德多項式，那么......事情開始變得有點棘手......