在 Python 中获取 Legendre 多项式的导数

Question

我有一个引力势表达式（此处的方程式 15），要计算轨道，我需要评估引力，即局部梯度，对我来说，这意味着评估勒让德多项式P2、P4 和P6单值数万次。

我可以使用这个问题中的表达式来计算它，但我想知道是否有一种方法可以向 python 询问未明确涉及我将导数评估为有限差分的导数。

我在 SciPy 中找不到任何可以自动执行此操作的东西。 在numpy.polynomial.legendre.Legendre中有一个deriv()方法，但我没有使用多项式类的经验。

评估低阶勒让德多项式的一阶导数的最快方法是什么，一次一个值适合数值积分？

Answer 1

我知道这是一个老问题，但仍然没有关于如何使用 numpy/scipy 计算导数的答案。

这就是它仅适用于 numpy 和 scipy 的方式：

from scipy.special import legendre
import numpy as np
n = 2               # degree of Legendre polynomial
poly = legendre(n)  # coefficients of n^th degree Legendre polynomial 
polyd= poly.deriv() # coefficients of derivative of n^th degree Legendre Polynomial
x = np.linspace(0,1,10000)  # arbitrary coordinates
evald = np.polyval(polyd,x) # evaluate derivative at desired coordinates(s)

上面接受的答案也包含一个小错误（我无法评论但也许有人可以编辑答案）：导数应该读作P2' = 3*x

Answer 2

如果您只需要P2 、 P4和P6的导数，那很容易用手计算然后写下来作为代码......例如

P2 = .5 * (3 * x^2 - 1)

所以：

P2' = .75 * x

您可以在 python 中将其编写为：

def P2_deriv(x):
    return .75 * x

事情并没有比这快很多；-)。 如果你需要任意勒让德多项式，那么......事情开始变得有点棘手......