柯克：如何在目標中更深入地運用公理？

Question

試圖用MT1（或MT1bis）證明MT1A，但Coq無法統一：

Require Export Classical_Prop.
Require Export Classical_Pred_Type.

Variable MT : Type.
Parameter NIL : MT.
Variables a b e : MT -> MT.
Variable c : MT * MT -> MT.

Axiom MT1 :
  forall x y z: MT, z = c(x,y) -> a(z) = x /\ b(z) = y.

Axiom MT1bis :
  forall x y z: MT, z = c(x,y) <-> a(z) = x /\ b(z) = y.

Axiom MT3 :
  forall x y z : MT, z = c(a(z),b(z)) <-> a(z) <> z /\ b(z) <> z.

Definition example := c(NIL, e NIL).

Lemma MT1A :
  forall x: MT, x = a (c(example, b example)) -> x = example /\ a x <> x /\ b x <> x.
Proof.
(*  unfold example. *)
  intros.
  apply MT1. (* ??? *)

Qed.

這里可以使用哪些策略來提示Coq如何從c()獲得c() a() ？ （還有一種可能是，盡管乍一看，這些公理還不足以作為證明。如果MT1還不夠，也許MT1bis是？）

試圖找到合適的策略，例如重寫，但是它沒有用（也許需要更復雜的提示）。 找不到其他可以提供幫助的戰術。

（這不是家庭作業，只是一個業余項目）

Answer 1

我從MT3刪除了未使用的變量：

Axiom MT3 :
  forall z : MT, z = c(a(z),b(z)) <-> a(z) <> z /\ b(z) <> z.

我們可以使用remember策略從更大的術語內部“提取”一個術語（並在方程式中記住此連接）：

Lemma MT1A x :
  x = a (c (example, b example)) ->
  x = example /\ a x <> x /\ b x <> x.
Proof.
  unfold example; intros H.
  rewrite <-MT3.
  remember (c (NIL, e NIL)) as f eqn:F.
  pose proof (MT1 _ _ _ F) as [F1 F2].
  remember (c (f, b f)) as g eqn:G.
  pose proof (MT1 _ _ _ G) as [G1 G2].
  split; congruence.
Qed.