線性回歸的矩陣預處理

Question

目前尚不清楚為什么在使用sklearn.linear_model.LinearRegression之前必須標准化數據集。 對於我來說，尚不清楚為什么歸一化原始數據仍必須導致正確的結果。 作為測試，我准備了一些數據集：

import numpy as np
import pandas as pd
size = 700
data['x_1'] = x_1
data['x_2'] = x_2
data['y'] = map(lambda i : x_1[i]*7.5 - 2*x_2[i] + noise[i], range(size))

哪里：

noise = np.random.normal(0,1,size)
x_1 = np.random.normal(5,2,size)
x_2 = np.random.normal(2,1,size)

然后，我嘗試使用帶有經過改組和標准化的矩陣的LinearRegression查找系數：

from sklearn.preprocessing import scale
from sklearn.utils import shuffle
df_shuffled = shuffle(data, random_state=123)
X = scale(df_shuffled[df_shuffled.columns[:-1]])
y = df_shuffled["y"]

結果如下：

linear_regressor.fit(X,y)
(14.951827073780766, 'x_1')
(-1.9171042297858722, 'x_2')

之后，我重復了所有不使用scale（）函數的步驟，並得到了更好的結果：

(7.5042271168341887, 'x_1')
(-1.9835960918124507, 'x_2')

這是一個例外還是我犯了一些錯誤？

Answer 1

標准化並不是線性回歸的真正要求。 這是一個示例，在該示例中，我將數據拆分為訓練/測試拆分，然后對測試進行預測。

>>> df = pd.DataFrame({'x_1': np.random.normal(0, 1, size), 'x_2': np.random.normal(2, 1, size)})
>>> df['y'] = map(lambda i: df['x_1'][i] * 7.5 - 2 * df['x_2'][i] + np.random.normal(0, 1, size)[i], range(size))
>>> lr = LinearRegression()
>>> X_scaled = scale(df[['x_1', 'x_2']])
>>> X_ns = df[['x_1', 'x_2']]
>>> y = df['y']
>>> train_X_scaled = X_scaled[:-100]
>>> test_X_scaled = X_scaled[-100:]
>>> train_X_ns = X_ns[:-100]
>>> test_X_ns = X_ns[-100:]
>>> train_y = y[:-100]
>>> test_y = y[-100:]
>>> lr.fit(train_X_scaled, train_y)
LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=1, normalize=False)
>>> lr.coef_
array([ 7.38189303, -2.04137514])
>>> lr.predict(test_X_scaled)
array([ -5.12130597, -21.58547658, -10.59483732, -10.56241312,
-16.88790301,   0.61347437,  -7.28207791,  -9.37464865,
-5.12411501, -14.79287322,  -9.84583896,   0.61183408,
-9.00695481,  -0.42201284, -20.50254306,   0.1984764 ,
-9.57419381,   1.39035118,   9.66405865, -10.18972252,
-8.76733834,  -7.33179222, -10.53075411,   0.51671133,
 3.65140463, -16.86740729,   7.86837224,   4.61310894,
-3.80289123, -11.92948864,  -6.55643999, -10.77231532,
 1.97181141,  15.75089958,   2.71987359,  -5.49740398,
-6.59654793,  -6.39042298,  -8.86057313,  12.63031921,
-8.05054779, -11.04476828,  -3.70610232,  -4.81986166,
-3.09909457,  10.3576317 ,  -6.48789854,  -4.05243726,
-4.11076559,  -9.21957658,  -4.36368549,   2.13365208,
-19.24153319,   6.52751487,  -3.48801127,   2.01989782,
-1.00673834, -10.33590131,  -9.25592347, -16.91433355,
 3.58685085,  -6.30149903,  -2.23264539,   6.86114404,
 8.33602945, -14.25656579, -22.24380384, -14.50287259,
-6.64710009, -17.40421316, -12.7734427 ,  -3.76204612,
-0.05843445,  -5.0349674 ,  -6.86404519,  -6.8523112 ,
-14.9479788 ,   1.6120415 ,  -6.24457762,  -7.11712009,
-5.57018237,  -2.89811595,  -5.44008672,   8.19302959,
-1.78437334, -19.32108323,   1.00091276,   4.79161569,
 1.65685676,  -8.68406543,   7.27219645,  -2.90941943,
 2.4613977 ,   2.94533763,  -6.35486958,  -1.01281799,
 2.13959957,  -6.73934486,  -1.65493937,  13.2605013 ])
>>> lr.fit(train_X_ns, train_y)
LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=1, normalize=False)
>>> lr.coef_
array([ 7.52554825, -1.98783572])
>>> lr.predict(test_X_ns)
array([ -5.12130597, -21.58547658, -10.59483732, -10.56241312,
-16.88790301,   0.61347437,  -7.28207791,  -9.37464865,
-5.12411501, -14.79287322,  -9.84583896,   0.61183408,
-9.00695481,  -0.42201284, -20.50254306,   0.1984764 ,
-9.57419381,   1.39035118,   9.66405865, -10.18972252,
-8.76733834,  -7.33179222, -10.53075411,   0.51671133,
 3.65140463, -16.86740729,   7.86837224,   4.61310894,
-3.80289123, -11.92948864,  -6.55643999, -10.77231532,
 1.97181141,  15.75089958,   2.71987359,  -5.49740398,
-6.59654793,  -6.39042298,  -8.86057313,  12.63031921,
-8.05054779, -11.04476828,  -3.70610232,  -4.81986166,
-3.09909457,  10.3576317 ,  -6.48789854,  -4.05243726,
-4.11076559,  -9.21957658,  -4.36368549,   2.13365208,
-19.24153319,   6.52751487,  -3.48801127,   2.01989782,
-1.00673834, -10.33590131,  -9.25592347, -16.91433355,
 3.58685085,  -6.30149903,  -2.23264539,   6.86114404,
 8.33602945, -14.25656579, -22.24380384, -14.50287259,
-6.64710009, -17.40421316, -12.7734427 ,  -3.76204612,
-0.05843445,  -5.0349674 ,  -6.86404519,  -6.8523112 ,
-14.9479788 ,   1.6120415 ,  -6.24457762,  -7.11712009,
-5.57018237,  -2.89811595,  -5.44008672,   8.19302959,
-1.78437334, -19.32108323,   1.00091276,   4.79161569,
 1.65685676,  -8.68406543,   7.27219645,  -2.90941943,
 2.4613977 ,   2.94533763,  -6.35486958,  -1.01281799,
 2.13959957,  -6.73934486,  -1.65493937,  13.2605013 ])

分數也相同：

>>> lr.fit(train_X_ns, train_y)
LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=1, normalize=False)
>>> lr.score(test_X_ns, test_y)
0.9829300206380267
>>> lr.fit(train_X_scaled, train_y)
LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=1, normalize=False)
>>> lr.score(test_X_scaled, test_y)
0.9829300206380267

那么為什么要標准化呢？ 因為它沒有傷害。 在管道中，您可能需要添加其他步驟，例如群集或PCA，這需要擴展。 請記住，如果要應用縮放，則還希望將其應用到評分數據集。 在這種情況下，必須使用StandardScaler，因為它具有fit和transform 。 在我的示例中，我使用了scale因為在拆分之前我將其同時應用於訓練和測試。 但是，在現實生活中，您的未來數據是未知的，因此您想使用StandardScaler基於從訓練集中找到的mu和std進行轉換。

Answer 2

sklearn.preprocessing.scale()通過減去均值（ mu ）除以標准差（ sigma ）來轉換變量：

x_scaled = (x - mu) / sigma

在您的情況下， x1的mu和sigma值分別為5和2。 因此稱比例，將從每個x1減去5，然后除以2。

移位不會影響線性回歸系數，而只會改變截距。 但是規模不同。 如果x1和y之間的關系由下式給出：

y = a*x1  # where the coefficient a is a constant

然后將x1除以2，那么您需要將系數加倍以保持相同的關系。

在此示例中， x2的sigma為1，因此sigma 。

不縮放的系數/截距：

linear_regressor = LinearRegression()
linear_regressor.fit(X,y)
print(linear_regressor.coef_)
print(linear_regressor.intercept_)
#[ 7.48676034 -1.99400201]
#0.0253066229528

使用縮放：

X_scaled = scale(df_shuffled[df_shuffled.columns[:-1]])
linear_regressor2 = LinearRegression()
linear_regressor2.fit(X_scaled,y)
print(linear_regressor2.coef_)
print(linear_regressor2.intercept_)
#[ 14.90368565  -1.94029573]
#33.7451724511

在第二種情況下，您將獲得x1和x2 縮放版本的系數並進行截距。

這不是問題或錯誤。 這意味着如果您使用擬合的模型進行預測，則只需對新數據應用相同的轉換即可。