Python / numpy 中的 n 維網格

Question

我有一個未知數n的變量，它們的范圍可以從 0 到 1 和一些已知的步驟s ，條件是它們總和為 1。我想創建一個所有組合的矩陣。 例如，如果n=3和s=0.33333則網格將是（順序不重要）：

0.00, 0.00, 1.00
0.00, 0.33, 0.67
0.00, 0.67, 0.33
0.00, 1.00, 0.00
0.33, 0.00, 0.67
0.33, 0.33, 0.33
0.33, 0.67, 0.00
0.67, 0.00, 0.33
0.67, 0.33, 0.00
1.00, 0.00, 0.00

我怎樣才能為任意n做到這一點？

Answer 1

這是使用itertools.combinations的直接方法：

>>> import itertools as it
>>> import numpy as np
>>> 
>>> # k is 1/s
>>> n, k = 3, 3
>>> 
>>> combs = np.array((*it.combinations(range(n+k-1), n-1),), int)
>>> (np.diff(np.c_[np.full((len(combs),), -1), combs, np.full((len(combs),), n+k-1)]) - 1) / k
array([[0.        , 0.        , 1.        ],
       [0.        , 0.33333333, 0.66666667],
       [0.        , 0.66666667, 0.33333333],
       [0.        , 1.        , 0.        ],
       [0.33333333, 0.        , 0.66666667],
       [0.33333333, 0.33333333, 0.33333333],
       [0.33333333, 0.66666667, 0.        ],
       [0.66666667, 0.        , 0.33333333],
       [0.66666667, 0.33333333, 0.        ],
       [1.        , 0.        , 0.        ]])

如果速度是一個問題， itertools.combinations可以替換為numpy implementation 。

Answer 2

編輯

這是一個更好的解決方案。 它基本上將步驟數划分為變量數量以生成所有有效組合：

def partitions(n, k):
    if n < 0:
        return -partitions(-n, k)
    if k <= 0:
        raise ValueError('Number of partitions must be positive')
    if k == 1:
        return np.array([[n]])
    ranges = np.array([np.arange(i + 1) for i in range(n + 1)])
    parts = ranges[-1].reshape((-1, 1))
    s = ranges[-1]
    for _ in range(1, k - 1):
        d = n - s
        new_col = np.concatenate(ranges[d])
        parts = np.repeat(parts, d + 1, axis=0)
        s = np.repeat(s, d + 1) + new_col
        parts = np.append(parts, new_col.reshape((-1, 1)), axis=1)
    return np.append(parts, (n - s).reshape((-1, 1)), axis=1)

def make_grid_part(n, step):
    num_steps = round(1.0 / step)
    return partitions(num_steps, n) / float(num_steps)

print(make_grid_part(3, 0.33333))

輸出：

array([[ 0.        ,  0.        ,  1.        ],
       [ 0.        ,  0.33333333,  0.66666667],
       [ 0.        ,  0.66666667,  0.33333333],
       [ 0.        ,  1.        ,  0.        ],
       [ 0.33333333,  0.        ,  0.66666667],
       [ 0.33333333,  0.33333333,  0.33333333],
       [ 0.33333333,  0.66666667,  0.        ],
       [ 0.66666667,  0.        ,  0.33333333],
       [ 0.66666667,  0.33333333,  0.        ],
       [ 1.        ,  0.        ,  0.        ]])

比較：

%timeit make_grid_part(5, .1)
>>> 338 µs ± 2.25 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)
%timeit make_grid_simple(5, .1)
>>> 26.4 ms ± 806 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

make_grid_simple如果你再推一點，它實際上會耗盡內存。

---

這是一種簡單的方法：

def make_grid_simple(n, step):
    num_steps = round(1.0 / step)
    vs = np.meshgrid(*([np.linspace(0, 1, num_steps + 1)] * n))
    all_combs = np.stack([v.flatten() for v in vs], axis=1)
    return all_combs[np.isclose(all_combs.sum(axis=1), 1)]

print(make_grid_simple(3, 0.33333))

輸出：

[[ 0.          0.          1.        ]
 [ 0.33333333  0.          0.66666667]
 [ 0.66666667  0.          0.33333333]
 [ 1.          0.          0.        ]
 [ 0.          0.33333333  0.66666667]
 [ 0.33333333  0.33333333  0.33333333]
 [ 0.66666667  0.33333333  0.        ]
 [ 0.          0.66666667  0.33333333]
 [ 0.33333333  0.66666667  0.        ]
 [ 0.          1.          0.        ]]

然而，這並不是最有效的方法，因為它只是簡單地進行所有可能的組合，然后選擇加起來為 1 的組合，而不是首先只生成正確的組合。 對於小步長，可能會導致內存成本過高。

Answer 3

假設它們總是加起來為 1，如您所說：

import itertools

def make_grid(n):   
  # setup all possible values in one position
  p = [(float(1)/n)*i for i in range(n+1)]

  # combine values, filter by sum()==1
  return [x for x in itertools.product(p, repeat=n) if sum(x) == 1]

print(make_grid(n=3))

#[(0.0, 0.0, 1.0),
# (0.0, 0.3333333333333333, 0.6666666666666666),
# (0.0, 0.6666666666666666, 0.3333333333333333),
# (0.0, 1.0, 0.0),
# (0.3333333333333333, 0.0, 0.6666666666666666),
# (0.3333333333333333, 0.3333333333333333, 0.3333333333333333),
# (0.3333333333333333, 0.6666666666666666, 0.0),
# (0.6666666666666666, 0.0, 0.3333333333333333),
# (0.6666666666666666, 0.3333333333333333, 0.0),
# (1.0, 0.0, 0.0)]

Answer 4

我們可以將其視為將一些固定數量的事物（在本例中為 1/s，並使用sum_left參數表示）在給定數量的 bin（在本例中為 n）之間划分的問題。 我能想到的最有效的方法是使用遞歸：

In [31]: arr = []
In [32]: def fun(n, sum_left, arr_till_now):
    ...:     if n==1:
    ...:         n_arr = list(arr_till_now)
    ...:         n_arr.append(sum_left)
    ...:         arr.append(n_arr)
    ...:     else:
    ...:         for i in range(sum_left+1):
    ...:             n_arr = list(arr_till_now)
    ...:             n_arr.append(i)
    ...:             fun(n-1, sum_left-i, n_arr)

這將給出如下輸出：

In [36]: fun(n, n, [])
In [37]: arr
Out[37]: 
[[0, 0, 3],
 [0, 1, 2],
 [0, 2, 1],
 [0, 3, 0],
 [1, 0, 2],
 [1, 1, 1],
 [1, 2, 0],
 [2, 0, 1],
 [2, 1, 0],
 [3, 0, 0]]

現在我可以將它轉換為一個 numpy 數組來進行元素乘法：

In [39]: s = 0.33
In [40]: arr_np = np.array(arr)
In [41]: arr_np * s
Out[41]: 
array([[ 0.        ,  0.        ,  0.99999999],
       [ 0.        ,  0.33333333,  0.66666666],
       [ 0.        ,  0.66666666,  0.33333333],
       [ 0.        ,  0.99999999,  0.        ],
       [ 0.33333333,  0.        ,  0.66666666],
       [ 0.33333333,  0.33333333,  0.33333333],
       [ 0.33333333,  0.66666666,  0.        ],
       [ 0.66666666,  0.        ,  0.33333333],
       [ 0.66666666,  0.33333333,  0.        ],
       [ 0.99999999,  0.        ,  0.        ]])

Answer 5

此方法也適用於任意總和（ total ）：

import numpy as np
import itertools as it
import scipy.special

n = 3
s = 1/3.
total = 1.00

interval = int(total/s)
n_combs = scipy.special.comb(n+interval-1, interval, exact=True)
counts = np.zeros((n_combs, n), dtype=int)

def count_elements(elements, n):
    count = np.zeros(n, dtype=int)
    for elem in elements:
        count[elem] += 1
    return count

for i, comb in enumerate(it.combinations_with_replacement(range(n), interval)):
    counts[i] = count_elements(comb, n)

ratios = counts*s
print(ratios)