向量在3D空間中的旋轉和方向-逆序

Question

我在3D空間中有兩個向量， S （開始）和T （目標），並且我想找到允許這種變換的旋轉矩陣（RM）。

我知道通過計算叉積 S × T可以獲得旋轉軸。 S和T之間的角度由tan⁻¹(||S × T||, S·T) ，其中S·T是S和T之間的點積 。

這給了我旋轉矢量rotvec = [S x T; angle] rotvec = [S x T; angle] （叉積標准化）。 然后，通過使用函數vrrotvec2mat （在MATLAB中）或transforms3d.axangles.axangle2mat （在Python中），我可以獲得與從S到T的轉換相對應的旋轉矩陣。

在我的應用中， T由點積 RM·D ，其中D是3x1向量。 我的目標 是找到RM 。 我知道S ， T和D ，但是我很難理解其背后的數學原理。

實際上，我想在S和T'之間找到一個RM，其中T'是在應用D （方向）之前的目標矢量。

更多背景信息 ：我想從相機坐標系中的3D點獲取人體關節角度。

Answer 1

為了完成這項工作，您還需要旋轉中心（旋轉后保持不變的點）...現在，我們需要兩個變換矩陣，一個代表變換之前的坐標系，另一個代表變換之后的坐標系。

要構建3D變換矩陣，您需要3個垂直基矢量和原點位置，請參見：

• 了解4x4均勻變換矩陣

現在旋轉軸將是基本向量之一，我們可以使用S,T作為第二個向量，因此我們可以使用叉積計算第三個向量，並且原點將成為旋轉中心：

X = cross(S,T);                      // rotation axis
X /= |X|;                            // unit vector
Y = S;                               // start vector
Y /= |Y|;                            // unit vector
Z = cross(X,Y);                      // Z perpendicular to X,Y
Z /= |Z|;                            // unit vector
O = center_of_rotation;

因此，從中構造4x4變換矩陣A 並對B執行相同操作，但使用T而不是S 現在我們要計算差分變換，因此，如果p=(x,y,z,1)是要變換的任意點，則：

p' = Inverse(A)*p 
p' = B*p'         

因此，您的變換矩陣M為：

M = Inverse(A)*B;

請注意，如果您使用其他方程式（乘法順序，矩陣方向等），則方程式可能會發生變化，這將與標准OpenGL約定一起使用。

您還可以使用完整的偽逆矩陣來更有效和准確地計算Inverse(A) 。

如您所見，您不需要任何角度測量法和角度即可（矢量數學很好用）

[Edit1] C ++示例

它使用VCL（您可以忽略的AnsiString和mm_log）和我的向量數學運算（使用的函數在第一個鏈接中）。

//---------------------------------------------------------------------------
AnsiString matrix_prn(double *a)
    {
    int i; AnsiString s;
    for (s ="(",i=0;i<16;i+=4) { if (a[i]>=0.0) s+=" "; s+=AnsiString().sprintf("%2.3lf,",a[i]); } s[s.Length()]=')'; s+="\r\n";
    for (s+="(",i=1;i<16;i+=4) { if (a[i]>=0.0) s+=" "; s+=AnsiString().sprintf("%2.3lf,",a[i]); } s[s.Length()]=')'; s+="\r\n";
    for (s+="(",i=2;i<16;i+=4) { if (a[i]>=0.0) s+=" "; s+=AnsiString().sprintf("%2.3lf,",a[i]); } s[s.Length()]=')'; s+="\r\n";
    for (s+="(",i=3;i<16;i+=4) { if (a[i]>=0.0) s+=" "; s+=AnsiString().sprintf("%2.3lf,",a[i]); } s[s.Length()]=')';
    return s;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
AnsiString vector_prn(double *a)
    {
    int i; AnsiString s;
    for (s ="(",i=0;i<3;i++) { if (a[i]>=0.0) s+=" "; s+=AnsiString().sprintf("%2.3lf,",a[i]); } s[s.Length()]=')';
    return s;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner):TForm(Owner)
    {
    int i;
    double O[3]={0.00, 0.00,0.00};  // center ofrotation
    double S[3]={4.10,-9.44,0.54};  // start vector
    double T[3]={1.40,-9.08,4.10};  // end vector
    double A[16],_A[16],B[16],M[16],X[3],Y[3],Z[3];

    // A
    vector_mul(X,S,T);  // rotation axis
    vector_one(X,X);    // unit vector
    vector_one(Y,S);    // unit start vector
    vector_mul(Z,X,Y);  // Z perpendicular to X,Y
    vector_one(Z,Z);    // unit vector
    for (i=0;i<3;i++)
        {
        A[ 0+i]=X[i];
        A[ 4+i]=Y[i];
        A[ 8+i]=Z[i];
        A[12+i]=O[i];
        A[(i<<2)+3]=0.0;
        } A[15]=1.0;
    // B
    vector_one(Y,T);    // unit end vector
    vector_mul(Z,X,Y);  // Z perpendicular to X,Y
    vector_one(Z,Z);    // unit vector
    for (i=0;i<3;i++)
        {
        B[ 0+i]=X[i];
        B[ 4+i]=Y[i];
        B[ 8+i]=Z[i];
        B[12+i]=O[i];
        B[(i<<2)+3]=0.0;
        } B[15]=1.0;
    // M = B*Inverse(A)
    matrix_inv(_A,A);
    matrix_mul(M,_A,B);

    mm_log->Lines->Add("A");
    mm_log->Lines->Add(matrix_prn(A));
    mm_log->Lines->Add("B");
    mm_log->Lines->Add(matrix_prn(B));
    mm_log->Lines->Add("M");
    mm_log->Lines->Add(matrix_prn(M));
    mm_log->Lines->Add("");

    vector_one(S,S);    // unit start vector
    vector_one(T,T);    // unit end vector
    mm_log->Lines->Add("S = "+vector_prn(S));
    matrix_mul_vector(X,M,S);
    mm_log->Lines->Add("X = "+vector_prn(X));
    mm_log->Lines->Add("T = "+vector_prn(T));
    }
//-------------------------------------------------------------------------

結果如下：

A
(-0.760, 0.398,-0.514, 0.000)
(-0.361,-0.916,-0.175, 0.000)
(-0.540, 0.052, 0.840, 0.000)
( 0.000, 0.000, 0.000, 1.000)
B
(-0.760, 0.139,-0.635, 0.000)
(-0.361,-0.903, 0.235, 0.000)
(-0.540, 0.408, 0.736, 0.000)
( 0.000, 0.000, 0.000, 1.000)
M
( 0.959, 0.258,-0.115, 0.000)
(-0.205, 0.916, 0.345, 0.000)
( 0.194,-0.307, 0.932, 0.000)
( 0.000, 0.000, 0.000, 1.000)

S = ( 0.398,-0.916, 0.052)
X = ( 0.139,-0.903, 0.408) // X = M * S
T = ( 0.139,-0.903, 0.408)

如您所見，如果我將單位S轉換為M ，就得到了單位T向量。 PS。 我的matrix_mul_vector和vector_mul假定w=1.0但是當O=(0.0,0.0,0.0) ，矢量和點相同。