C#：查找由 3 個點（3D）形成的弧上的所有點

Question

我想找到位於由 3 個點形成的弧上的所有點的坐標。

首先，我的英語說得不是很好，很抱歉語言的錯誤。

點 1 : (toolPosition.x, toolPosition.y, toolPosition.z) 點 2 : (TMid.transform.position.x, TMid.transform.position.y, TMid.transform.position.z) 點 3 : (TEnd. transform.position.x, TEnd.transform.position.y, TEnd.transform.position.z)

我在 (x,y,z) 坐標中，困難在哪里。

我首先計算球體中心的坐標 (xc, yc, zc)，該點有效。

之后，我計算了弧的長度和角度（點 1 到點 3，經過點 2）

//calcul des angles des points donnés sur la sphère
double tetaA = Math.Acos((toolPosition.z - zc) / rayon);
double tetaB = Math.Acos((TMid.transform.position.z - zc) / rayon);
double tetaC = Math.Acos((TEnd.transform.position.z - zc) / rayon);

double phiA = Math.Atan2((toolPosition.y - yc), (toolPosition.x - xc));
double phiB = Math.Atan2((TMid.transform.position.y - yc), (TMid.transform.position.x - xc));
double phiC = Math.Atan2((TEnd.transform.position.y - yc), (TEnd.transform.position.x - xc));
//longueur des arcs
double longStartEnd = rayon * Math.Acos(Math.Cos(tetaA) * Math.Cos(tetaC) + Math.Sin(tetaA) * Math.Sin(tetaC) * Math.Cos(phiC - phiA));
double longMidEnd = rayon * Math.Acos(Math.Cos(tetaB) * Math.Cos(tetaC) + Math.Sin(tetaB) * Math.Sin(tetaC) * Math.Cos(phiC - phiB));
double longStartMid = rayon * Math.Acos(Math.Cos(tetaA) * Math.Cos(tetaB) + Math.Sin(tetaA) * Math.Sin(tetaB) * Math.Cos(phiB - phiA));
//si le trajet dépasse les 180°
if (longStartMid > longStartEnd || ((float)(longStartEnd * 2) != (float)(2 * Math.PI * rayon) && (float)(longStartMid + longStartEnd + longMidEnd) == (float)(2 * Math.PI * rayon)))
    longStartEnd = 2 * Math.PI * rayon - longStartEnd;
//calcul du nombre de découpe à réaliser et de l'angle formé par chacune
int nbrDecoupe = (int)(longStartEnd * 100);
double angle = longStartEnd / rayon;
double angleBeta = angle / nbrDecoupe;

現在來我真正的問題，找到弧上的所有點。

我試圖通過旋轉矩陣來計算它們，這需要一個法向量。

這是我計算它的方法：

//recherche du vecteur normal du plan formé par les trois points
double xsm = TMid.transform.position.x - toolPosition.x, ysm = TMid.transform.position.y - toolPosition.y, zsm = TMid.transform.position.z - toolPosition.z; // vecteur entre le startPoint et le midPoint
double xse = TEnd.transform.position.x - toolPosition.x, yse = TEnd.transform.position.y - toolPosition.y, zse = TEnd.transform.position.z - toolPosition.z; // vecteur entre le startPoint et le endPoint
double z1 = zse / zsm;
if (Math.Sign(zsm) == Math.Sign(zse))
    z1 *= -1;
double y1 = yse / ysm;
if (Math.Sign(ysm) == Math.Sign(yse))
    y1 *= -1;
//vecteur normal
double aNormal = 1;
double bNormal = (z1 * xsm + xse) * -1 / (z1 * ysm + yse);
double cNormal = (y1 * xsm + xse) * -1 / (y1 * zsm + zse);
//vecteur normal unitaire
double ux, uy , uz; // ux² + uy² + uz² = 1
ux = 1 / Math.Sqrt(Math.Pow(aNormal, 2) + Math.Pow(bNormal, 2) + Math.Pow(cNormal, 2)) * aNormal * sens;
uy = 1 / Math.Sqrt(Math.Pow(aNormal, 2) + Math.Pow(bNormal, 2) + Math.Pow(cNormal, 2)) * bNormal * sens;
uz = 1 / Math.Sqrt(Math.Pow(aNormal, 2) + Math.Pow(bNormal, 2) + Math.Pow(cNormal, 2)) * cNormal * sens;

第一點是，有時（當弧在軸上時）bNormal 或cNormal 被0 除。

第二點是我現在不知道如何確定向量的 sens（弧必須經過點 2）。

我這樣做是為了找到 sens 但我知道這不是一個好的解決方案

int sens;
if ((TEnd.transform.position.y < toolPosition.y || TEnd.transform.position.z < toolPosition.z) && Math.Abs(TEnd.transform.position.y - toolPosition.y) > 0.00001)
    sens = -1;
else
    sens = 1;
if (Math.Abs(toolPosition.y - TEnd.transform.position.y) < Math.Abs(toolPosition.y - TMid.transform.position.y))
    sens *= -1;

有了所有這些數據，我計算了所有要點：

 double xL = toolPosition.x - xc, yL = toolPosition.y - yc, zL = toolPosition.z - zc;
 for (int i = 0; i < nbrDecoupe; i++)
 {
     //Coordonnées du nouveau point
     double tempX = xL, tempY = yL;
     // xL * (cos() + ux²*(1 - cos()))      + yL * (ux*uy*(1 - cos()) - uz*sin()) + zL * (ux*uz*(1 - cos()) + uy*sin())
     // xL * (uy*ux*(1 - cos()) + uz*sin()) + yL * (cos() + uy²*(1 - cos()))      + zL * (uy*uz*(1 - cos()) - ux*sin())
     // xL * (uz*ux*(1 - cos()) - uy*sin()) + yL * (uz*uy*(1 - cos()) + ux*sin()) + zL * (cos() + uz²*(1 - cos()))
     xL = tempX * (Math.Cos(angleBeta) + Math.Pow(ux, 2) * (1 - Math.Cos(angleBeta))) + tempY * (ux * uy * (1 - Math.Cos(angleBeta)) - uz * Math.Sin(angleBeta)) + zL * (ux * uz * (1 - Math.Cos(angleBeta)) + uy * Math.Sin(angleBeta));   
     yL = tempX * (uy * ux * (1 - Math.Cos(angleBeta)) + uz * Math.Sin(angleBeta)) + tempY * (Math.Cos(angleBeta) + Math.Pow(uy, 2) * (1 - Math.Cos(angleBeta))) + zL * (uy * uz * (1 - Math.Cos(angleBeta)) - ux * Math.Sin(angleBeta));   
     zL = tempX * (uz * ux * (1 - Math.Cos(angleBeta)) - uy * Math.Sin(angleBeta)) + tempY * (uz * uy * (1 - Math.Cos(angleBeta)) + ux * Math.Sin(angleBeta)) + zL * (Math.Cos(angleBeta) + Math.Pow(uz, 2) * (1 - Math.Cos(angleBeta)));
 }

我認為問題來自於有時不好的法線向量。

所以，我需要幫助的兩點是如何確定向量的 sens 和計算（實際上並不適用於所有情況）

如果有人能幫助我，那就太感謝了。

Answer 1

您可以按照此處所述找到圓心和圓弧半徑（ 另一種實現）。 這是 C++ 代碼，但我認為翻譯應該是顯而易見的（ dot是點積， .norm()是向量的歸一化）

void estimate3DCircle(Vector3D p1, Vector3D p2, Vector3D p3, Vector3D &c, double &radius)
{
    Vector3D v1 = p2-p1;
    Vector3D v2 = p3-p1;
    double v1v1, v2v2, v1v2;
    v1v1 = v1.dot(v1);
    v2v2 = v2.dot(v2);
    v1v2 = v1.dot(v2);

    float base = 0.5/(v1v1*v2v2-v1v2*v1v2);
    float k1 = base*v2v2*(v1v1-v1v2);
    float k2 = base*v1v1*(v2v2-v1v2);
    c = p1 + v1*k1 + v2*k2; // center

    radius = (c-p1).norm();
}

當你有中心時，不難在需要步驟的弧上生成點（請注意，你不能制作“所有點” - 有無限數量）。

使用角度/距離步長生成點的簡單方法是使用SLERP 。 首先得到向量

p0 = Start - Center
 and 
p1 = End - Center 

然后使用 acos 和點積計算Omega （全弧角）

Omega = acos(p0.dot.p1 / R^2)

然后通過t參數在0..1范圍內應用插值

slerp(t) = p0 * sin((1-t)*Omega) / sin(Omega) + p1 * sin(t*Omega) / sin(Omega)