通過固定唯一對角線值來規范化對稱矩陣

Question

我有一個對稱矩陣a ，其對角線元素可以不同。

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([[3, 7, 6], [7, 2, 5], [6, 5, 1]])
>>> a
array([[3, 7, 6],
       [7, 2, 5],
       [6, 5, 1]])

我想對這個矩陣進行歸一化，使所有對角線元素都為 0，如下所示：

array([[0, x1, x2],
       [x1, 0, x3],
       [x2, x3, 0]])

我該怎么做（如果可能，在 Python 中）？ 任何幫助將不勝感激，謝謝。

Answer 1

如果你想讓所有對角線元素都為 0，只需使用一個簡單的for-loop 。

for i in range(len(matrix)):
    matrix[i][i] = 0

Answer 2

您可以使用以下命令： np.fill_diagonal(a, 0) ( https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.fill_diagonal.html )

---

按照您的說明：如果我很了解您想要做什么，那么您可以區分兩種情況。

• 可逆==> 使用X = np.linalg.solve(a, A)
• a not invertible ==> 在這種情況下，可能沒有解決方案或無限多個解決方案。

例如，如果 a 不可逆但 A 可逆，則沒有解（否則 X*A^-1 將提供 a 的逆）。 一般來說，解存在的必要條件是rk(A) <= rk(a)（根據秩定理）。

在另一種情況下，有無窮多個解

a = array([[0, 0, 0],
           [0, 2, 0],
           [0, 0, 1]])

A = array([[0., 0., 0.],
           [0., 0., 1.],
           [0., 1., 0.]])

自從

    array([[0. , 0. , 0. ],              array([[1., 1., 1.],
X =        [0. , 0. , 0.5],     + lbda *        [0., 0., 0.],
           [0. , 1. , 0. ]])                    [0., 0., 0.]])

為np.dot(a,X) = A的每個實際值求解np.dot(a,X) = A

如果您處於第二種情況（無限多的解決方案），則可以使用

X = np.linalg.lstsq(a,A)[0]

即使在 a 不可逆的情況下也提供了解決方案（如果 a 可逆，則返回與 np.linalg.solve 相同的結果）。 如果不存在解，此命令將返回一個矩陣，使得 np.dot(a,X) 與 A“盡可能接近”。您可以通過添加像assert np.max(np.abs(np.dot(a,X) - A)) < 1E-5 。