使用 scipy.sparse.linalg.eigs 計算復雜特征值

Question

鑒於以下輸入 numpy 二維數組A可以通過文件hill_mat.npy使用以下鏈接檢索，如果我可以使用像scipy.sparse.linalg這樣的迭代求解器僅計算其特征值的子集，那就太好了。 .

首先，一點上下文。 該矩陣A來自大小為N的二次特征值問題，該問題已在雙大小2*N的等效特征值問題中線性化。 A具有以下結構（藍色為零）：

plt.imshow(np.where(A > 1e-15,1.,0), interpolation='None')

以及以下特點：

A shape = (748, 748)
A dtype = float64
A sparsity ratio = 77.64841716949297 %

A的真實尺寸比這個可重復的小例子大得多。 在這種情況下，我預計實際稀疏率和形狀接近95%和(5508, 5508) 。

A的結果特征值是復數（以復共軛對的形式出現），我對模數虛部最小的那些更感興趣。

問題：使用直接求解器時：

w_dense = np.linalg.eigvals(A) 
idx = np.argsort(abs(w_dense.imag))
w_dense = w_dense[idx]

計算時間迅速變得令人望而卻步。 因此，我希望使用稀疏算法：

from scipy.sparse import csc_matrix, linalg as sla
w_sparse = sla.eigs(A, k=100, sigma=0+0j, which='SI', return_eigenvectors=False)

但似乎 ARPACK 沒有以這種方式找到任何特征值。 從scipy/arpack 教程中，當尋找像which = 'SI'這樣的小特征值時，應該通過指定sigma kwarg 來使用所謂的移位反轉模式，即為了讓算法知道它可以在哪里找到這些特征值。 盡管如此，我所有的嘗試都沒有產生任何結果......

有沒有對這個 function 更有經驗的人幫我完成這項工作？

下面是一個完整的代碼片段：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.sparse import csc_matrix, linalg as sla

A = np.load('hill_mat.npy')
print('A shape =', A.shape)
print('A dtype =', A.dtype) 
print('A sparsity ratio =',(np.product(A.shape) - np.count_nonzero(A)) / np.product(A.shape) *100, '%')

# quick look at the structure of A
plt.imshow(np.where(A > 1e-15,1.,0), interpolation='None')

# direct
w_dense = np.linalg.eigvals(A)
idx = np.argsort(abs(w_dense.imag))
w_dense = w_dense[idx]

# sparse
w_sparse = sla.eigs(csc_matrix(A), k=100, sigma=0+0j, which='SI', return_eigenvectors=False)

Answer 1

問題終於解決了，我想我應該更仔細地閱讀文檔，但是，以下內容非常違反直覺，我認為可以更好地強調：

... ARPACK 包含一種允許快速確定非外部特征值的模式：移位反轉模式。 如上所述，這種模式涉及將特征值問題轉換為具有不同特征值的等價問題。 在這種情況下，我們希望找到接近零的特征值，因此我們將選擇sigma = 0 。 轉換后的特征值將滿足 ，所以我們的小特征值 變大 特征值。

這樣，當尋找小的特征值時，為了幫助 LAPACK 完成工作，應該通過指定適當的sigma值來激活移位反轉模式，同時反轉在which關鍵字參數中指定的所需指定子集。

因此，只需執行以下操作：

w_sparse = sla.eigs(csc_matrix(A), k=100, sigma=0+0j, which='LM', return_eigenvectors=False, maxiter=2000)
idx = np.argsort(abs(w_sparse.imag))
w_sparse = w_sparse[idx]

因此，我只能希望這個錯誤對其他人有所幫助:)