scipy.sparse.linalg.eigsh（）與Matlab的eigs（）給出的結果不同，為什么呢？

Question

我正在使用scipy.sparse.linalg.eigsh()解決廣義特征值問題。 我要使用eigsh()因為我正在處理一些大型的稀疏矩陣。 問題是我無法得到正確的答案， eigsh()輸出的特征值和特征向量與我從Matlab的eigs()獲得的特征完全不同。

看起來像這樣：數據：

a: 
   304.7179  103.1667   36.9583   61.3478   11.5724
    35.5242  111.4789   -9.8928    8.2586   -4.7405
    10.8358    4.3433  145.6586   26.5153   13.1871
    -1.1924   -2.5430    0.4322   43.1886   -0.6098
   -18.7751   -8.8031   -4.3962   -5.8791   17.6588
b: 
   736.9822  615.7946  587.6828  595.7169  545.1878
   615.7946  678.2142  575.7579  587.3469  524.7201
   587.6828  575.7579  698.6223  593.5402  534.3675
   595.7169  587.3469  593.5402  646.0410  530.1114
   545.1878  524.7201  534.3675  530.1114  590.1373

在python中：a，b是numpy.ndarray

In [11]: import scipy.sparse.linalg as lg

In [14]: x,y=lg.eigsh(a,M=b,k=2,which='SM')

In [15]: x
Out[15]: array([ 0.01456738,  0.22578463])

In [16]: y
Out[16]: 
array([[ 0.00052614,  0.00807034],
       [ 0.00514091, -0.01593113],
       [ 0.00233622, -0.00429671],
       [ 0.01877451, -0.06259276],
       [ 0.01491696,  0.08002341]])

In [18]: a.dot(y[:,0])-x[0]*b.dot(y[:,0])
Out[18]: array([ 1.74827445,  0.30325634,  0.71299604,  0.42842245, -0.24724681])

In [19]: a.dot(y[:,1])-x[1]*b.dot(y[:,1])
Out[19]: array([-2.2463206 , -1.64704567, -0.80086734, -1.56796329, 0.03027861])

可以看出，特征值和特征向量不足以重組原始矩陣。

但是，在MATLAB中它運作良好：

[y,x] = eigs(a,b,2,'sm');

y =

    0.0037   -0.0141
   -0.0056    0.0151
    0.0015    0.0079
   -0.0117    0.0666
   -0.0298   -0.0753
x =

    0.0202         0
         0    0.3499
a*x(:,1)-y(1,1)*b*x(:,1)

ans =

   1.0e-14 *

   -0.3775
    0.0777
    0.0777
    0.0555
    0.0666

另外，數據b是正定的：

In [24]: np.linalg.eigvals(b)
Out[24]: 
array([ 2951.07297125,   137.81545217,    90.40223937,   107.04818229,
          63.65818086])

誰能解釋為什么我無法在python中獲得正確的答案？

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使用lg.eigs()我們確實獲得了與MATLAB中相同的輸出。 但是...問題在矩陣變大時發生，如下所示：

test_eigs.mat

在MATLAB中，我們有類似以下內容：

>> [x,y] = eigs(A,B,4,'sm');
y =

0.0001         0         0         0
     0    0.0543         0         0
     0         0    0.1177         0
     0         0         0    0.1350

而在python（python3.5.2，scipy1.0.0）中使用lg.eigs(A,M=B,k=4,which='SM')其特征值如下：

array([  4.43277284e+51 +0.00000000e+00j,
     1.04797857e+48 +8.30096152e+47j,
     1.04797857e+48 -8.30096152e+47j,  -1.45582240e+31 +0.00000000e+00j])

Answer 1

正如Paul Panzer所說，“ eigsh”中的“ h”代表Hermitian ，而矩陣A不是。 （此外，具有正特征值並不意味着是正定的；僅當矩陣以Hermitian開頭時才是正確的。） eigsh方法不檢查輸入是否為Hermitian。 它只是遵循一個假設的過程； 因此，當假設失敗時，輸出將不正確。

使用eigs方法產生的結果與Matlab相同：

x, y = lg.eigs(a,M=b,k=2,which='SM') 
np.real(x), np.real(y)  # x and y have tiny imaginary parts due to float math errors

(array([ 0.02022333,  0.34993346]), 
 array([[-0.00368007, -0.0140898 ],
    [ 0.0056435 ,  0.01509067],
    [-0.00154725,  0.00790518],
    [ 0.01170563,  0.06664118],
    [ 0.02981777, -0.07528778]]))

當然，運行eigsh比運行eigs需要更長的時間。

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您的第二個示例是一個34 x 34的密集矩陣，它根本沒有零。 在上面使用稀疏線性代數是不合理的。 並警告說該方法尚未收斂。 常規線性代數模塊工作正常。

import scipy.linalg as la
sorted_eigenvals = np.sort(np.real(la.eigvals(Am, Bm)))

這返回

5.90947734e-05，5.42521180e-02，1.17669899e-01，1.34952286e-01，...

與您引用的MATLAB輸出一致（Matlab舍入數字除外）

0.0001、0.0543、0.1177、0.1350