如何確定線性混合 model 在 lme4/nlme 中是否超定？

Question

在nlme的 Orthodont 數據集中，有 27 個受試者，每個受試者在 4 個不同年齡進行測量。 我希望使用這些數據來探索 model 在什么情況下會超定。 以下是模型：

library(nlme)
library(lme4)

m1 <- lmer( distance ~ age + (age|Subject), data = Orthodont )
m2 <- lmer( distance ~ age + I(age^2) + (age|Subject), data = Orthodont )
m3 <- lmer( distance ~ age + I(age^2) + I(age^3) + (age|Subject), data = Orthodont )

m1nlme <- lme(distance ~ age, random = ~ age|Subject, data = Orthodont)
m2nlme <- lme(distance ~ age + I(age^2), random = ~ age|Subject, data = Orthodont)
m3nlme <- lme(distance ~ age + I(age^2) + I(age^3), random = ~ age|Subject, data = Orthodont)
m4nlme <- lme(distance ~ age + I(age^2) + I(age^3), random = ~ age + I(age^2) + I(age^3)|Subject, data = Orthodont)

在上述所有模型中，只有m3會拋出警告消息： In checkConv(attr(opt, "derivs"), opt$par, ctrl = control$checkConv,:Model failed to converge with max|grad| = 0.00762984 (tol = 0.002, component 1) 。

問題：

1. 警告信息有什么建議？忽略此信息是否明智？
2. 對於m2 ，model 估計截距的固定效應和年齡和 I(age^2) 的固定系數，以及隨機效應參數 sigma^2_intercept、sigma^2_age 和 sigma^2_intercept:age。 因此，每個 Subject 總共估計了 1+2+3=6 個參數。 但是每個主題只有 4 個觀察值。 為什么m2不拋出錯誤？ m2不是超定的嗎？ 我是否錯誤地計算了任何地方的參數數量？

Answer 1

1. 警告信息意味着 model 擬合可能在數值上有點不穩定； 它是通過數值檢查縮放梯度來完成的，但這又取決於梯度和由有限差分估計的 Hessian，它們本身會受到數值誤差的影響。 正如我在許多不同場合所說的那樣，這些警告肯定會過於敏感/可能是誤報：參見例如?lme4::convergence 、 ?lme4::troubleshooting 。 黃金標准是使用allFit()用各種優化器重新調整 model，並確保不同優化器的結果足夠接近相同以滿足您的目的。

2. 每個受試者有兩個隨機效應值（BLUP 或條件模式） - 截距和斜率 wrt 年齡的受試者水平偏差。 對於值，如果值的數量大於或等於每組的觀察數（或者，對於沒有尺度參數（如泊松）的 GLMM，如果值的數量嚴格大於每組的觀察次數）。 對於參數，最多有四個固定效應參數（截距、線性、二次、三次項 wrt age）和三個 RE 參數（截距方差、斜率方差、截距和斜率之間的協方差），但這 7 個參數在總體水平上進行估計 - 適當的比較是與觀察總數或組數，而不是每組的觀察數。