計算 3D 給定 2D 向量及其幅度比的角度

Question

我一直在試圖弄清楚以下問題是否有解決方案。 快放棄了，想請問有沒有人能確認一下沒有解決辦法，或者給個提示。

• 我們在 3D 空間中有兩個向量v和w ，並且知道它們的大小之比為||v|| / ||w|| = 0.8019 ||v|| / ||w|| = 0.8019 ||v|| / ||w|| = 0.8019 。

• 在 3D 空間中，觀察者會看到它們形成27.017度角。

• 另一方面，二維觀察者（只看到x和z軸）觀察到矢量之間的角度為7.125度。

• 從他們的角度來看，向量坐標是v = (x: 2, z: 1)和w = (x: 3, z: 2) 。

有沒有辦法讓 2D 觀察者計算 3D 空間中這些向量之間的實際角度？

對於任何輸入，我都會非常高興。 到目前為止我所有的嘗試都失敗了，我只想知道是否有可能的解決方案。

Answer 1

我已經解決了這個問題並得到 y1 和 y2 的值由這個 function 給出：

eq1：0.6439*y2^(2)-y1^(2)=9.785。

因此，實際角度幾乎可以是任何值，將這個問題縮小到實際解決方案的因素將是關於觀察者在 3d 空間中的位置的信息，以便他看到 27.017º 的角度，但是，如果這是整個問題，然后我可以分享我的解決方案和過程。

我根據計算創建的一些圖表：

Answer 2

向量的側視圖直接從圖形的 x 和 z 軸的角度來看，因此 (x1,z1) 和 (x2,z2) 點（向量的端點）的坐標看起來真實, 而不是增強，因此您可以在計算中使用它們來計算 z1 和 z2 的坐標，您需要用它們來計算角度。

V = (x1, y1, z1) V = (2, y1, 1)

W = (x2, y2, z2) W = (3, y2, 2)

由於 ||v|| / ||w|| = 0.8019

∴然后 sqrt((x1^2)+(y1^2)+(z1^2))/sqrt((x2^2)+(y2^2)+(z2^2)) = 0.8019

∴(x1^2)+(y1^2)+(z1^2)/(x2^2)+(y2^2)+(z2^2) = 0.6430

∴4+(y1^2)+1/9+(y2^2)+4 = 0.6430

∴5+(y1^2) = 8.359 + 0.6430(y2^2)

∴13.359 = 0.6430(y2^2)-(y1^2)

因此，這為您提供了一個 function，它在給定一些輸入 y 的情況下計算 y 的另一個值。

然后，您可以使用 Geogebra 繪制此 function 的圖形。

對於曲線上的所有值對，連同兩個向量的 x 和 z 的固定值，您可以計算出兩個向量的幅度之比等於 0.8019。

因此，這個問題有無限多的角度解，因為有無限多的 z1 和 z2 值滿足該比率； ||v|| / ||w|| = 0.8019。 因此這個問題的答案可以表示為：

∀Θº∈R:Θº≥0