我怎樣才能證明1 / n是O（1）？

Question

如何在數學上證明1 / n是O（1）？ 我很困惑從哪里開始。 有幫助嗎？

Answer 1

正如問題所說，從big-O表示法的定義開始。

F(x) = O(G(x)) IFF there exist constants k and m, 
such that for all n > m, k*|G(n)| > F(n). 

（請在此處查閱textboox以獲取准確的措辭。）

非正式地說，這意味着如果我們走得足夠遠，最終G（n）將主導F（n），無論我們通過常數因素給予F（n）多大的初始優勢。

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那么，你如何證明這樣的事情呢？

這樣的證明通常是建設性地完成的 - 表明m和k的特定精心選擇的值使不等式起作用。

現在你只是做代數。 找到滿足形式定義的m和k。 根據所需的形式/細節水平，您可能需要證明1 / n是單調遞減（或做一些感應證明），以表明您對m和k的選擇確實有效。

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Margus（和Loadmaster）：漸近符號講述函數 ，完全獨立於底層硬件和實現。 1 / n = O（1）是一個數學真理，即使存在我們稱之為“計算機”的東西，也不會被預測。 如果您正在考慮指令數量，那么您就是在推理復雜性類別（想想P，NP，EXP），而不是漸近符號。

Answer 2

如果你為一個算法演示這個，首先指出輸入將是一個正數量的數據（N> = 1），你不能輸入1/2數據:)

之后，證明當n> 1時1 / n是一個增長的函數，你應該使用感應，並且你很好，因為你已經指出n總是大於1！

Answer 3

好吧，讓我們考慮一下這一點。 我們有兩個函數f（n）= 1 / n和g（n）= 1。 我們需要的是兩個常數C和k，使得每當n> k時0 <= f（n）<= C * g（n）。 如果兩個函數的域都限制為所有正整數的集合，我們只需選擇C = 2和k = 0。 然后，對於所有n> 0，我們得到0 <= 1 / n <= 2 * 1.這里我們稱C和k為關系的見證1 / n是O（1）。

需要更嚴格地證明一下嗎？ 那么...... 當且僅當 1 <n（通過簡單代數）時，顯然1 / n <1。 因此，如果n = 1（這意味着1 / n = 1），我們知道2 * 1> 1並且如果n> 1，我們知道這意味着1 / n <1，在這種情況下2 * 1> 1 / n。

Answer 4

你實際上沒有必要證明它，這是事實。 如果n是大於0的自然數，則1 / n的上限始終為1。