將圖划分為具有必須在同一子圖中的一組頂點的連通子圖

Question

我有一個連通的無向圖，G =（V，E），一個集合S = {S_1，S_2，...，S_n}，其中每個S_i是V的子集，並且ak>1。如何將V划分為k個子集，可以保證：

1. 對於每個i，S_i中的每個節點都在同一子集中
2. 每個子集代表G？的連通子圖。

Answer 1

在給定加權圖G =（V，E）和成對的頂點（s ₁ ，t ₁ ），…，（s _m ，t _m ）的情況下，施泰納森林問題找到了G的最輕的邊子圖H ，對於所有的i，頂點的_I和T _I屬於H的相同連接分量

問題的決策版本實質上是具有單位權重的Steiner森林的決策版本。 不幸的是，這種特殊情況仍然很難解決。

從Steiner森林的特殊情況到您的問題的減少是，給定Steiner森林的未加權實例，並給出確定最多存在成本的解決方案的指令c，使用相同的圖k = |創建問題的實例。 V | -c，對於所有i，令S _i = {s _i ，t _i }。 如果存在一個成本最高為c的Steiner森林，則該森林的連接組成部分是您的子集，其數量至少為| V |。 -c = k。 相反，如果您的問題實例有解決方案，那么我們可以在您的每個子集中找到一個生成樹，並且總成本最多為| V |。 -k = c。

已知的最佳近似比是2，如果k小，則不會有太大幫助。 您可能必須使用分支和綁定。

Answer 2

一些隨機觀察。 您可能無法加入兩個S_i，S_j，因為它們沒有形成連接的子圖。 由於該圖已連接，因此，只要添加足夠的其他S_k，您就可以始終將它們連接-最終，您將得到按定義連接的完整圖。 因此，連通性要求使您趨向於合並。 但是，對k個子集的需求使您難以分開。 基本上，您有一個^ k搜索空間，如果您跟蹤這些條件，則可以從根本上進行修剪。 當然，如果沒有S的“免費”節點，那將完全改變游戲。

是的，不是一個真正的答案，而是一個開始。 無論如何都會發布;）