我怎么說服coq（A / \\ B）/ \\ C == A / \\ B / \\ C？

Question

在我的證明中，我偶然發現了我的假設中存在A /\\ B /\\ C問題，我需要證明(A /\\ B) /\\ C 這些在邏輯上完全相同，但是coq不能用assumption.解決這些問題assumption. 。

我一直在通過應用公理來解決這些問題，但是有更優雅（和正確）的方法來處理這個問題嗎？

Answer 1

所以我的方式是通過定義我的引理，

Lemma conj_assoc : forall A B C, A /\ (B /\ C) <-> (A /\ B) /\ C.

這是另一個意味着另一個。

intros. split. 然后將這分為兩個目標。

1. A /\\ (B /\\ C) -> (A /\\ B) /\\ C
2. (A /\\ B) /\\ C -> A /\\ (B /\\ C)

證明這些中的每一個大致相同。 對於（1），

• intro Habc. 從左手大小得到假設。
• destruct Habc as [Ha Hbc]. destruct Hbc as [Hb Hc]. 得到個人的假設。
• auto使用這些假設。

我留給你研究（2），但它非常相似。

然后是Qed.

Answer 2

如果您有A /\\ B /\\ C作為假設，並且您的目標是(A /\\ B) /\\ C ，則可以使用戰術tauto 。 這種策略解決了命題演算中的所有重言式。 還有一個策略firstorder可以firstorder解決一些公式。

如果你有A /\\ B /\\ C並且想要將(A /\\ B) /\\ C作為參數傳遞給引理，那么你需要多做一些工作。 一種方法是將(A /\\ B) /\\ C為中間目標並證明：

assert ((A /\ B) /\ C). tauto.

如果A ， B和C是大表達式，你可以使用復合策略匹配假設H : A /\\ B /\\ C並將tauto策略應用於它。 這是一種嚴厲的方法，在這種情況下過度殺傷，但在更復雜的情況下非常有用，在這種情況下，您希望自動化具有許多類似情況的證明。

match type of H with ?x /\ ?y /\ ?z =>
  assert (x /\ (y /\ z)); [tauto | clear H]
end.

有一種更簡單的方法，即應用執行轉換的已知引理。

apply and_assoc in H.

您可以通過瀏覽庫文檔找到該引理。 你也可以搜索它。 這不是最容易搜索的因素，因為它是等價的，搜索工具適用於影響和平等。 您可以使用SearchPattern (_ /\\ _ /\\ _). 尋找forall x1 … xn, ?A /\\ ?B /\\ ?C形式的forall x1 … xn, ?A /\\ ?B /\\ ?C （其中?A ， ?B和?C可以是任何表達式）。 您可以使用SearchRewrite (_ /\\ _ /\\ _)來查找forall x1 … xn, (?A /\\ ?B /\\ ?C) = ?D形式的forall x1 … xn, (?A /\\ ?B /\\ ?C) = ?D 。 不幸的是，這並沒有找到我們所追求的東西，這是forall x1 … xn, (?A /\\ ?B /\\ ?C) <-> ?D形式的引理forall x1 … xn, (?A /\\ ?B /\\ ?C) <-> ?D 。 工作是什么

Coq < SearchPattern (_ <-> (_ /\ _ /\ _))
and_assoc: forall A B C : Prop, (A /\ B) /\ C <-> A /\ B /\ C

Answer 3

作為一般提示，如果你有類似的東西，你懷疑是顯而易見的，請檢查標准庫。 方法如下： Locate "/\\". 產生一個響應，為我們解決Notation ，

Notation            Scope     
"A /\ B" := and A B  : type_scope
                      (default interpretation)

現在我們可以發出命令SearchAbout and. 看看范圍是什么，並發現and_assoc見證了你感興趣的含義。事實上，你可以從你的intuition中得到啟示： intuition策略可以利用這個含義本身。

Lemma conj_example : forall A B C D,
  (A /\ B) /\ C -> (A /\ (B /\ C) -> D) -> D.
Proof. intuition. Qed.