如何在coq中證明b = c if（andb b c = orb b c）？

Question

我是coq的新手，我正試圖證明這一點......

Theorem andb_eq_orb :
  forall (b c : bool),
  (andb b c = orb b c) -> (b = c).

這是我的證明，但是當我到達目標時我被卡住了（假=真 - >假=真）。

Proof.
intros b c.
induction c.
destruct b.
reflexivity.
simpl.
reflexivity.

我不確定如何重寫那個表達式，所以我可以使用反身性。 但即使我這樣做，我也不確定它會導致證據。

如果我從假設b = c開始，我能夠解決證明。 即...

Theorem andb_eq_orb_rev :
  forall (b c : bool),
  (b = c) -> (andb b c = orb b c).
Proof.
intros.
simpl.
rewrite H.
destruct c.
reflexivity.
reflexivity.
Qed.

但是，如果我從具有布爾函數的假設開始，我無法弄清楚如何解決。

Answer 1

您不需要歸納，因為bool不是遞歸數據結構。 只需通過b和c值的不同情況。 使用destruct來做到這一點。 在兩種情況下，假設H的類型為true = false ，您可以使用inversion H來完成證明。 在另外兩種情況下，目標將是true = true類型，並且可以通過reflexivity來解決。

Theorem andb_eq_orb : forall b c, andb b c = orb b c -> b = c.
Proof. destruct b,c;  intro H; inversion H; reflexivity. Qed.

Answer 2

你會想要使用intro策略。 這會將false = true移動到您的證明上下文中，作為您可以用來重寫的假設。

Answer 3

這可能不是最有效的方法。

在步進induction c. （它被卡住了）：

______________________________________(1/2)
b && true = b || true -> b = true
______________________________________(2/2)
b && false = b || false -> b = false

您可以在[bool] [1]中使用rewrite和基本定理來簡化諸如b && true到b和b || true術語。 b || true要true 。

這可以將它減少到兩個“微不足道”的子目標：

b : bool
______________________________________(1/2)
b = true -> b = true
______________________________________(2/2)
false = b -> b = false

這幾乎是使用assumption微不足道的證明，除了它是一個symmetry 。 您可以try使用symmetry使它們匹配：

try (symmetry;assumption); try assumption.

（真正了解Coq的人可能會告訴我如何更簡潔地try這個）

把它放在一起：

Require Import Bool.
Theorem andb_eq_orb : forall b c, andb b c = orb b c -> b = c.
Proof. 
destruct c; 

try (rewrite andb_true_r);
try (rewrite orb_true_r);
try (rewrite andb_false_r);
try (rewrite orb_false_r);
intro H;
try (symmetry;assumption); try assumption.
Qed.

第二種方法是強制它並使用“真值表”方法。 這意味着您可以將所有變量分解為其真值，並簡化： destruct b, c; simpl. destruct b, c; simpl. 。 這再次給出了四個微不足道的含義，最多可以try一個symmetry ：

4 subgoal
______________________________________(1/4)
true = true -> true = true
______________________________________(2/4)
false = true -> true = false
______________________________________(3/4)
false = true -> false = true
______________________________________(4/4)
false = false -> false = false

把它放在一起：

Theorem andb_eq_orb1 : forall b c, andb b c = orb b c -> b = c.
Proof. 
destruct b, c; simpl; intro; try (symmetry;assumption); try assumption.
Qed.

第一種方法更麻煩，但它不涉及枚舉所有真值表行（我認為）。