python numpy.convolve 求解从 0 到 t 的卷积积分，而不是 -t 到 t

Question

我有一个类型的卷积积分：

为了在数值上求解这个积分，我想使用numpy.convolve() 。 现在，正如您在联机帮助中看到的那样，卷积正式从 -infinity 到 +infinity 完成，这意味着 arrays 完全相互移动以进行评估 - 这不是我需要的。 我显然需要确保选择卷积的正确部分——你能确认这是正确的方法吗，或者告诉我如何正确地做它以及（可能更重要）为什么？

res = np.convolve(J_t, dF, mode="full")[:len(dF)]

J_t 是一个分析 function，我可以根据需要评估尽可能多的点，dF 是测量数据的导数。 对于这次尝试，我选择len(J_t) = len(dF)因为根据我的理解我不需要更多。

一如既往地感谢您的想法，感谢您的帮助！

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背景信息（对于那些可能感兴趣的人）

这些类型的积分可用于评估物体的粘弹性行为（或电路在电压变化期间的响应，如果您对这个主题更熟悉的话）。 对于粘弹性，J(t) 是蠕变柔量 function，F(t) 可以是随时间变化的偏应变，则此积分将产生偏应力。 例如，如果您现在有一个 J(t) 的形式：

J_t = lambda p, t: p[0] + p[1]*N.exp(-t/p[2])

p = [J_elastic, J_viscous, tau]这将是“著名的”标准线性固体。 积分限制是测量的开始 t_0 = 0 和感兴趣的时刻 t。

Answer 1

为了做到这一点，我选择了以下两个功能：

a(t) = t
b(t) = t**2

很容易做数学并发现它们在你的情况下定义的“卷积”具有以下值：

c(t) = t**4 / 12

所以让我们尝试一下：

>>> delta = 0.001
>>> t = np.arange(1000) * delta
>>> a = t
>>> b = t**2
>>> c = np.convolve(a, b) * delta
>>> d = t**4 / 12
>>> plt.plot(np.arange(len(c)) * delta, c)
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x00000000025C37B8>]
>>> plt.plot(t[::50], d[::50], 'o')
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x000000000637AB38>]
>>> plt.show()

因此，通过执行上述操作，如果a和b都有n元素，则在c的前n元素中得到正确的卷积值。

不确定下面的解释是否有意义，但在这里......如果你认为卷积是沿着y轴镜像其中一个函数，那么沿着x轴滑动它并计算产品的积分每一点，很容易看出如何，因为在定义numpy区域之外将它们视为用零填充，你有效地设置从0到t的积分间隔，​​因为第一个函数是零以下零，而第二个函数是零是零以上，因为它原来是零以下零，但已被镜像并向右移动t。

Answer 2

我正在解决同样的问题并使用效率极低但功能正确的算法解决它：

def Jfunk(inz,t):

    c0 = inz[0]
    c1 = inz[1]
    c2 = inz[2]

    J = c0 - c1*np.exp(-t/c2)

    return J

def SLS_funk(inz, t, dl_dt):

    boltz_int = np.empty(shape=(0,))

    for i,v in enumerate(t, start=1):

        t_int = t[0:i]

        Jarg = v - t[0:i]

        J_int = Jfunk(inz,Jarg)

        dl_dt_int = dl_dt[0:i]

        inter_grand = np.multiply(J_int, dl_dt_int)

        boltz_int = np.append(boltz_int, simps (inter_grand, x=t_int) )

    return boltz_int

感谢这个问题及其答案，我能够基于上面提出的numpy卷积函数实现更好的解决方案。 如果OP很好奇，我会对这两种方法进行时间比较。

对于具有20,000个时间点的SLS（三参数J函数）：

使用Numpy卷积：约0.1秒

使用蛮力方法：~7.2秒

Answer 3

如果有助于获得对齐的感觉，请尝试卷积一对冲动。 使用matplotlib（使用ipython --pylab ）：

In [1]: a = numpy.zeros(20)
In [2]: b = numpy.zeros(20)
In [3]: a[0] = 1
In [4]: b[0] = 1
In [5]: c = numpy.convolve(a, b, mode='full')
In [6]: plot(c)

您可以从结果图中看到c中的第一个样本对应于第一个重叠位置。 在这种情况下， 只有 a和b的第一个样本重叠。 所有其余的都漂浮在未定义的空间中。 numpy.convolve用零有效地替换了这个未定义的空间，如果你设置了第二个非零值，你可以看到它：

In [9]: b[1] = 1
In [10]: plot(numpy.convolve(a, b, mode='full'))

在这种情况下，绘图的第一个值是1，与之前一样（显示b的第二个值根本没有贡献）。

Answer 4

在过去的两天里，我一直在为类似的问题而苦苦挣扎。 OP 可能已经继续，但我仍然在这里展示我的分析。 以下两个来源帮助了我：

1. 关于stackoverflow的讨论
2. 这些笔记

我将考虑从时间开始在同一时间序列上定义的时间序列数据 . 设这两个系列为A和B 。 他们的（连续）卷积是

代入和 在上面的等式中，我们得到np.convolve(A,B)返回的内容：

你想要的是

再次进行相同的替换，我们得到

这与上面是因为负指数的A外推为零，而i > ( j + m ) B[j - i + m]为零。

如果您查看上面引用的注释，您会发现对应时间对于我们的时间序列。 列表中的下一个值将对应于 等等。 因此，正确答案将是

等于np.convolve(A,B)[0:M] ，其中M = len(A) = len(B) 。

请记住M*dt = T ，其中T是时间数组的最后一个元素。

免责声明：我不是程序员、数学家或工程师。 我不得不在某个地方使用卷积，并从我自己与问题的斗争中得出这些结论。 如果有人能指出，我很乐意引用任何有这种分析的书。