图灵机计算2个二进制数之和

Question

如何构建图灵机来计算给定X$Y*输入的 2 个二进制数的总和？

例如，假设X = 3和Y = 5 。 机器的输入将是#011$101*# 。 最后的状态应该是#1000# 。

我们可以假设X和Y具有相同的位长度。

Answer 1

您需要实现一个全加器。 这个问题可能是家庭作业，所以我将提供一个高层次的概述。 图灵机M具有特殊状态Q(xyc) ，其中x,y ∈ {0,1,U}和c ∈ {0,1} 。 状态Q(xyc)表示X^第i 位是x ， Y^第i 位是y并且进位是c 。 符号U表示相关输入的^第i 位未知。 状态Q(Uyc)其中y ∈ {0,1}是无效的，因为^第i^个位X如果存在^第i^个位是已知的Y是已知的。 算法是这样的：

1. M的初始状态是Q(UU0) 。
2. 假设X和Y^第i 位被添加并且进位是c 。 然后M处于状态Q(UUc) 。 如果i大于X和Y的位数，则转到步骤 (6)。 由于最低有效输入位在步骤 (3) 和 (4) 中被覆盖，因此这种情况很容易检测到。
3. 找到X的最低有效位x ，用$覆盖x并转换到状态Q(xUc) 。
4. 找到Y的最低有效位y ，用*覆盖y并转换到状态Q(xyc) 。
5. 在磁带的末尾写入适当的和，转换到状态Q(UUd) ，其中d是新进位，然后转到步骤 (2)。 这些值由上述链接中的真值表给出。
6. 如果c = 1 ，写c在带的端部。
7. 将计算值的反向复制到磁带的开头。 清除剩余的胶带。

请注意，输出是以相反的顺序构造的，因此必须在步骤 (7) 中颠倒。 剩余的工作包括写入状态和用于遍历/操作磁带的转换。