用于二进制数加法和比较的图灵机

Question

今天是个好日子！

我正在尝试解决此练习以进行学习。 有人可以指导我解决这三个问题吗？

就像我尝试了第一个问题，以“+”分隔的 2 个二进制数相加。 在那里我通过用相应数量的 1 或零表示每个数字来尝试 2 个数字加法，例如 5 = 1 1 1 1 1 或 0 0 0 0 0 然后将它们相加，结果也将与所表示的格式相同，但如何添加或表示 2 个二进制文件并用 + 分隔它们，没有得到任何线索。 图灵机的头部会从左边移动到加号然后左右移动+号吗？ 但是将如何执行添加。 就我的一点知识而言，TM 不能简单地添加二进制文件，我们必须制定一些逻辑来表示它的二进制文件，就像简单地将 2 个数字相加一样。 比较2个二进制文件的情况类似吗？ 问候

Answer 1

我将从问题 2 和 3 开始，因为它们实际上比问题 1 容易。

我们假设我们有有效的输入（两边的非空二进制字符串，没有前导零），所以我们不需要做任何输入验证。 要检查数字是否相等，我们可以简单地在 = 符号上来回弹跳并一次划掉一位数字。 如果我们在任何时候发现不匹配，我们就会拒绝。 如果我们在左边有一个数字，而在右边找不到一个，我们就拒绝。 如果左边的数字用完而右边还有一些，我们拒绝。 否则，我们接受。

Q    T    Q'    T'    D

q0   0    q1    X     right    // read the next (or first) symbol
q0   1    q2    X     right    // of the first binary number, or
q0   =    q7    =     right    // recognize no next is available

q1   0    q1    0     right    // skip ahead to the = symbol while 
q1   1    q1    1     right    // using state to remember which
q1   =    q3    =     right    // symbol we need to look for
q2   0    q2    0     right
q2   1    q2    1     right
q2   =    q4    =     right

q3   X    q3    X     right    // skip any crossed-out symbols
q3   0    q5    X     left     // in the second binary number
q3   1,b  rej   1     left     // then, make sure the next
q4   X    q4    X,b   right    // available digit exists and
q4   0,b  rej   0,b   left     // matches the one remembered
q4   1    q5    X     left     // otherwise, reject

q5   X    q5    X     left     // find the = while ignoring
q5   =    q6    =     left     // any crossed-out symbols

q6   0    q6    0     left     // find the last crossed-out
q6   1    q6    1     left     // symbol in the first binary
q6   X    q0    X     right    // number, then move right
                               // and start over

q7   X    q7    X     right    // we ran out of symbols
q7   b    acc   b     left     // in the first binary number,
q7   0,1  rej   0,1   left     // make sure we already ran out
                               // in the second as well

这个 TM 可以首先通过确保两个二进制字符串都是非空的并且不包含前导零（划掉它找到的任何东西）来清理输入。

做“大于”，你可以很容易地做到以下几点：

1. 检查第一个二进制数的长度（去除前导零后）是否大于、等于或小于第二个二进制数（去除前导零后）的长度。 如果第一个比第二个长，请接受。 如果第一个比第二个短，则拒绝。 否则，继续执行步骤 2。

2. 像在另一个问题中一样检查相等性，但是如果在任何时候第一个数字中有 1 并且在第二个数字中有 0，则接受。 这是有效的，因为我们知道没有前导零，数字具有相同的位数，并且我们正在按重要性的降序检查数字。 如果您发现其他不匹配或您确定数字相等，则拒绝。

要添加数字，问题说要递增和递减，但我觉得只添加进位不会太难。 该程序的概要是这样的：

1. 以进位 = 0 开始。
2. 转到第一个数字的最低有效位。 进入状态（dig=X，carry=0）
3. 转到第二个数字的最低有效位。 转到状态（和=（X+Y+进位）%2，进位=（X+Y+进位）/2）
4. 跟随第二个数字并写下总和数字。
5. 返回并继续该过程，直到其中一个数字用完数字。
6. 然后，继续使用仍然有数字的任何数字，只添加这些数字和进位。
7. 最后，擦除原始输入并将总和向后复制到磁带的开头。

磁带可能经历的不同步骤的示例：

#1011+101#
#101X+101#
#101X+10X#
#101X+10X=#
#101X+10X=0#
#10XX+10X=0#
#10XX+1XX=0#
#10XX+1XX=00#
#1XXX+1XX=00#
#1XXX+XXX=00#
#1XXX+XXX=000#
#XXXX+XXX=000#
#XXXX+XXX=0000#
#XXXX+XXX=00001#
#XXXX+XXX=0000#
#1XXX+XXX=0000#
#1XXX+XXX=000#
#10XX+XXX=000#
#10XX+XXX=00#
#100X+XXX=00#
#100X+XXX=0#
#1000+XXX=0#
#1000+XXX=#
#10000XXX=#
#10000XXX#
#10000XX#
#10000X#
#10000#

Answer 2

有两种方法可以解决加法问题。 假设您的输入磁带采用^a+b$形式，其中^和$是告诉您已经到达输入的正面和背面的符号。

1. 您可以每一步增加b并减少a 1直到a为 0，此时b将是您的答案。 这是假设您可以轻松编写可以递增和递减的 TM。
2. 您可以使用进位实现全加 TM，就像在纸上添加二进制数一样。

对于任一选项，您都需要代码来查找a和b的最低有效位。 该问题指定最重要的位是第一位，因此您需要从+开始a和$开始b 。

例如，假设我们要增加1011$ 。 我们将使用的算法是找到最不重要的未标记数字。 如果它是一个0 ，用一个1替换它。 如果是1 ，则向左移动。

1. 首先找到 $，将读取头移到那里。 将读取头向左移动。
2. 你看到一个1 。 将读取头向左移动。
3. 你看到一个1 。 将读取头向左移动。
4. 你看到一个0 。 写1 .
5. 将读取头返回到 $。 二进制数现在是1111$ 。

要比较两个数字，您需要跟踪已查看过的值。 这是通过使用“标记”字符扩展字母表来完成的。 0可以标记为X ， 1标记为Y 。 X意思是“这里有一个 0，但我已经看到了。

因此，对于平等，我们可以开始^了a和=为b 。 （假设输入看起来像^a=b$ 。）算法是找到a和b的开始，比较每个的第一个未标记位。 第一次达到不同的值时，停止并拒绝。 如果您到达=和$ ，请停止并拒绝。

让我们看看输入^11=10$ ：

1. 读取头从 ^ 开始。
2. 向右移动头部，直到我们找到一个未标记的位。
3. 阅读1 。 写Y 。 磁带读取^Y1=10$ 。 我们处于表示已读取1 。
4. 向右移动头部，直到找到= 。
5. 向右移动头部，直到我们找到一个未标记的位。
6. 阅读1 。 这与我们之前阅读的位相匹配。 写一个Y 。
7. 将头向左移动，直到找到^ 。
8. 转到步骤 2。
9. 这一次，我们要读1在a与阅读0中b 。 我们会停下来拒绝。

希望这有助于您入门。

Answer 3

以下程序受edX / MITx 课程 Paradox 和 Infinity 的启发，展示了如何使用图灵机执行二进制加法，其中将要相加的数字输入到图灵机中并用空格分隔。

图灵机

• 使用第二个数字作为计数器
• 将第二个数字减一
• 将第一个数字加一

直到第二个数字变为 0。

以下图灵机模拟动画显示了如何将 13（二进制1101 ）和 5（二进制101 ）相加以产生 18（二进制10010 ）。