用於二進制數加法和比較的圖靈機

Question

今天是個好日子！

我正在嘗試解決此練習以進行學習。 有人可以指導我解決這三個問題嗎？

就像我嘗試了第一個問題，以“+”分隔的 2 個二進制數相加。 在那里我通過用相應數量的 1 或零表示每個數字來嘗試 2 個數字加法，例如 5 = 1 1 1 1 1 或 0 0 0 0 0 然后將它們相加，結果也將與所表示的格式相同，但如何添加或表示 2 個二進制文件並用 + 分隔它們，沒有得到任何線索。 圖靈機的頭部會從左邊移動到加號然后左右移動+號嗎？ 但是將如何執行添加。 就我的一點知識而言，TM 不能簡單地添加二進制文件，我們必須制定一些邏輯來表示它的二進制文件，就像簡單地將 2 個數字相加一樣。 比較2個二進制文件的情況類似嗎？ 問候

Answer 1

我將從問題 2 和 3 開始，因為它們實際上比問題 1 容易。

我們假設我們有有效的輸入（兩邊的非空二進制字符串，沒有前導零），所以我們不需要做任何輸入驗證。 要檢查數字是否相等，我們可以簡單地在 = 符號上來回彈跳並一次划掉一位數字。 如果我們在任何時候發現不匹配，我們就會拒絕。 如果我們在左邊有一個數字，而在右邊找不到一個，我們就拒絕。 如果左邊的數字用完而右邊還有一些，我們拒絕。 否則，我們接受。

Q    T    Q'    T'    D

q0   0    q1    X     right    // read the next (or first) symbol
q0   1    q2    X     right    // of the first binary number, or
q0   =    q7    =     right    // recognize no next is available

q1   0    q1    0     right    // skip ahead to the = symbol while 
q1   1    q1    1     right    // using state to remember which
q1   =    q3    =     right    // symbol we need to look for
q2   0    q2    0     right
q2   1    q2    1     right
q2   =    q4    =     right

q3   X    q3    X     right    // skip any crossed-out symbols
q3   0    q5    X     left     // in the second binary number
q3   1,b  rej   1     left     // then, make sure the next
q4   X    q4    X,b   right    // available digit exists and
q4   0,b  rej   0,b   left     // matches the one remembered
q4   1    q5    X     left     // otherwise, reject

q5   X    q5    X     left     // find the = while ignoring
q5   =    q6    =     left     // any crossed-out symbols

q6   0    q6    0     left     // find the last crossed-out
q6   1    q6    1     left     // symbol in the first binary
q6   X    q0    X     right    // number, then move right
                               // and start over

q7   X    q7    X     right    // we ran out of symbols
q7   b    acc   b     left     // in the first binary number,
q7   0,1  rej   0,1   left     // make sure we already ran out
                               // in the second as well

這個 TM 可以首先通過確保兩個二進制字符串都是非空的並且不包含前導零（划掉它找到的任何東西）來清理輸入。

做“大於”，你可以很容易地做到以下幾點：

1. 檢查第一個二進制數的長度（去除前導零后）是否大於、等於或小於第二個二進制數（去除前導零后）的長度。 如果第一個比第二個長，請接受。 如果第一個比第二個短，則拒絕。 否則，繼續執行步驟 2。

2. 像在另一個問題中一樣檢查相等性，但是如果在任何時候第一個數字中有 1 並且在第二個數字中有 0，則接受。 這是有效的，因為我們知道沒有前導零，數字具有相同的位數，並且我們正在按重要性的降序檢查數字。 如果您發現其他不匹配或您確定數字相等，則拒絕。

要添加數字，問題說要遞增和遞減，但我覺得只添加進位不會太難。 該程序的概要是這樣的：

1. 以進位 = 0 開始。
2. 轉到第一個數字的最低有效位。 進入狀態（dig=X，carry=0）
3. 轉到第二個數字的最低有效位。 轉到狀態（和=（X+Y+進位）%2，進位=（X+Y+進位）/2）
4. 跟隨第二個數字並寫下總和數字。
5. 返回並繼續該過程，直到其中一個數字用完數字。
6. 然后，繼續使用仍然有數字的任何數字，只添加這些數字和進位。
7. 最后，擦除原始輸入並將總和向后復制到磁帶的開頭。

磁帶可能經歷的不同步驟的示例：

#1011+101#
#101X+101#
#101X+10X#
#101X+10X=#
#101X+10X=0#
#10XX+10X=0#
#10XX+1XX=0#
#10XX+1XX=00#
#1XXX+1XX=00#
#1XXX+XXX=00#
#1XXX+XXX=000#
#XXXX+XXX=000#
#XXXX+XXX=0000#
#XXXX+XXX=00001#
#XXXX+XXX=0000#
#1XXX+XXX=0000#
#1XXX+XXX=000#
#10XX+XXX=000#
#10XX+XXX=00#
#100X+XXX=00#
#100X+XXX=0#
#1000+XXX=0#
#1000+XXX=#
#10000XXX=#
#10000XXX#
#10000XX#
#10000X#
#10000#

Answer 2

有兩種方法可以解決加法問題。 假設您的輸入磁帶采用^a+b$形式，其中^和$是告訴您已經到達輸入的正面和背面的符號。

1. 您可以每一步增加b並減少a 1直到a為 0，此時b將是您的答案。 這是假設您可以輕松編寫可以遞增和遞減的 TM。
2. 您可以使用進位實現全加 TM，就像在紙上添加二進制數一樣。

對於任一選項，您都需要代碼來查找a和b的最低有效位。 該問題指定最重要的位是第一位，因此您需要從+開始a和$開始b 。

例如，假設我們要增加1011$ 。 我們將使用的算法是找到最不重要的未標記數字。 如果它是一個0 ，用一個1替換它。 如果是1 ，則向左移動。

1. 首先找到 $，將讀取頭移到那里。 將讀取頭向左移動。
2. 你看到一個1 。 將讀取頭向左移動。
3. 你看到一個1 。 將讀取頭向左移動。
4. 你看到一個0 。 寫1 .
5. 將讀取頭返回到 $。 二進制數現在是1111$ 。

要比較兩個數字，您需要跟蹤已查看過的值。 這是通過使用“標記”字符擴展字母表來完成的。 0可以標記為X ， 1標記為Y 。 X意思是“這里有一個 0，但我已經看到了。

因此，對於平等，我們可以開始^了a和=為b 。 （假設輸入看起來像^a=b$ 。）算法是找到a和b的開始，比較每個的第一個未標記位。 第一次達到不同的值時，停止並拒絕。 如果您到達=和$ ，請停止並拒絕。

讓我們看看輸入^11=10$ ：

1. 讀取頭從 ^ 開始。
2. 向右移動頭部，直到我們找到一個未標記的位。
3. 閱讀1 。 寫Y 。 磁帶讀取^Y1=10$ 。 我們處於表示已讀取1 。
4. 向右移動頭部，直到找到= 。
5. 向右移動頭部，直到我們找到一個未標記的位。
6. 閱讀1 。 這與我們之前閱讀的位相匹配。 寫一個Y 。
7. 將頭向左移動，直到找到^ 。
8. 轉到步驟 2。
9. 這一次，我們要讀1在a與閱讀0中b 。 我們會停下來拒絕。

希望這有助於您入門。

Answer 3

以下程序受edX / MITx 課程 Paradox 和 Infinity 的啟發，展示了如何使用圖靈機執行二進制加法，其中將要相加的數字輸入到圖靈機中並用空格分隔。

圖靈機

• 使用第二個數字作為計數器
• 將第二個數字減一
• 將第一個數字加一

直到第二個數字變為 0。

以下圖靈機模擬動畫顯示了如何將 13（二進制1101 ）和 5（二進制101 ）相加以產生 18（二進制10010 ）。