如何将已知的线性方程拟合到 R 中的数据？

Question

我使用线性模型来获得最适合我的数据的 lm() 函数。 从文献中我知道最佳拟合是斜率 = 1 和截距 = 0 的线性回归。我想看看这个方程 (y=x) 对我的数据有多好？ 我如何继续以找到 R^2 和 p 值？

这是我的数据（y = 建模，x = 测量）

measured<-c(67.39369,28.73695,60.18499,49.32405,166.39318,222.29022,271.83573,241.72247, 368.46304,220.27018,169.92343,56.49579,38.18381,49.33753,130.91752,161.63536,294.14740,363.91029,358.32905,239.84112,129.65078,32.76462,30.13952,52.83656,67.35427,132.23034,366.87857,247.40125,273.19316,278.27902,123.24256,45.98363,83.50199,240.99459,266.95707,308.69814,228.34256,220.51319,83.97942,58.32171,57.93815,94.64370,264.78007,274.25863,245.72940,155.41777,77.45236,70.44223,104.22838,294.01645,312.42321,122.80831,41.65770,242.22661,300.07147,291.59902,230.54478,89.42498,55.81760,55.60525,111.64263,305.76432,264.27192,233.28214,192.75603,75.60803,63.75376)

modelled<-c(42.58318,71.64667,111.08853,67.06974,156.47303,240.41188,238.25893,196.42247,404.28974,138.73164,116.73998,55.21672,82.71556,64.27752,145.84891,133.67465,295.01014,335.25432,253.01847,166.69241,68.84971,26.03600,45.04720,75.56405,109.55975,202.57084,288.52887,140.58476,152.20510,153.99427,75.70720,92.56287,144.93923,335.90871,NA,264.25732,141.93407,122.80440,83.23812,42.18676,107.97732,123.96824,270.52620,388.93979,308.35117,100.79047,127.70644,91.23133,162.53323,NA ,276.46554,100.79440,81.10756,272.17680,387.28700,208.29715,152.91548,62.54459,31.98732,74.26625,115.50051,324.91248,210.14204,168.29598,157.30373,45.76027,76.07370)

现在我想看看方程 y=x 与上面提供的数据（R^2 和 p 值）的拟合程度如何？

如果有人可以帮助我解决这个（基本）问题，我将非常感激，因为我在 stackoverflow 上找不到我的问题的答案？

最好的问候西里尔

Answer 1

让我们弄清楚你在这里问什么。 您有一个现有模型，即“ modelled值是measured值的预期值”，或者换句话说， measured = modelled + e ，其中e是正态分布残差。

您说“最佳拟合”应该是截距为 0 且斜率为 1 的直线，这是另一种说法。

问题是，这种“最佳拟合”并不是您实际数据的最佳拟合，我们可以通过以下方式轻松看到：

summary(lm(measured ~ modelled))
#> 
#> Call:
#> lm(formula = measured ~ modelled)
#> 
#> Residuals:
#>      Min       1Q   Median       3Q      Max 
#> -103.328  -39.130   -4.881   40.428  114.829 
#> 
#> Coefficients:
#>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept) 23.09461   13.11026   1.762    0.083 .  
#> modelled     0.91143    0.07052  12.924   <2e-16 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#> 
#> Residual standard error: 55.13 on 63 degrees of freedom
#> Multiple R-squared:  0.7261, Adjusted R-squared:  0.7218 
#> F-statistic:   167 on 1 and 63 DF,  p-value: < 2.2e-16

这向我们展示了在减少残差平方和方面可以对您的数据产生最佳拟合的线。

但我想你要问的是“我的数据与模型的拟合程度如何measured = modelled + e ？”

试图强迫lm给你一个固定的截距和斜率可能不是回答这个问题的最好方法。 请记住，斜率的 p 值只能告诉您实际斜率是否与 0 显着不同。上述模型已经证实了这一点。 如果你想知道measured = modelled + e的r 平方，你只需要知道由modelled解释的measured方差的比例。 换句话说：

1 - var(measured - modelled) / var(measured)
#> [1] 0.7192672

这非常接近lm调用的 r 平方。

我认为您有足够的证据表明您的数据与模型measured = modelled一致，因为lm模型中的斜率包括其 95% 置信区间内的值 1，截距包含其 95% 内的值 0置信区间。

Answer 2

正如评论中提到的，您可以使用lm()函数，但这实际上是为您估计斜率和截距，而您想要的是不同的东西。

如果斜率 = 1 且截距 = 0，则本质上您有一个拟合并且您的modelled已经是预测值。 你需要这个拟合的 r 平方。 R平方定义为：

R2 = MSS/TSS = (TSS − RSS)/TSS

请参阅此链接以了解 RSS 和 TSS 的定义。

我们只能处理完整的观察（非 NA）。 所以我们计算它们中的每一个：

TSS = nonNA  = !is.na(modelled) & !is.na(measured) 
# residuals from your prediction
RSS = sum((modelled[nonNA] - measured[nonNA])^2,na.rm=T)
# total residuals from data
TSS = sum((measured[nonNA] - mean(measured[nonNA]))^2,na.rm=T)    

1 - RSS/TSS
[1] 0.7116585

Answer 3

如果measured和modelled应该代表未公开模型的实际值和拟合值，如另一个答案下面的评论中所述，那么如果fm是该未公开模型的lm对象，则

summary(fm)

将显示该模型的 R^2 和 p 值。

R 平方值实际上可以仅使用measured和modelled来计算，但是如果未公开的模型中有或没有截距，则公式会有所不同。 迹象是没有截距，因为如果有截距sum(modelled - measured, an.rm = TRUE)应该是 0 但实际上它远非如此。

在任何情况下，R^2 和 p 值都显示在 summary(fm) 的输出中，其中 fm 是未公开的线性模型，因此如果您有未公开的lm对象，则没有必要将讨论限制为measured和modelled模型。

例如，如果未公开的模型如下，则使用内置的CO2数据框：

fm <- lm(uptake ~ Type + conc, CO2)
summary(fm)

我们有这个输出，其中最后两行显示 R 平方和 p 值。

Call:
lm(formula = uptake ~ Type + conc, data = CO2)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-18.2145  -4.2549   0.5479   5.3048  12.9968 

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      25.830052   1.579918  16.349  < 2e-16 ***
TypeMississippi -12.659524   1.544261  -8.198 3.06e-12 ***
conc              0.017731   0.002625   6.755 2.00e-09 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 7.077 on 81 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5821,    Adjusted R-squared:  0.5718 
F-statistic: 56.42 on 2 and 81 DF,  p-value: 4.498e-16