给定一个加权图和自然数 k，如何找到可以除以 k 的从节点 s 到 t 的最便宜的路径？

Question

给定一个不包括负循环的加权图 G=(V,E)、一个自然数 k 和两个顶点：s,t。

我怎样才能找到从 s 到 t 的最便宜的路线，它的长度可以被 k 整除？

Answer 1

准备一个具有顶点 V × {0, 1, ..., n−1} 的新图 G'，并且对于 G 中长度为 ℓ 的每个弧 v → w，弧 (v, x) → (w, (x + ℓ) mod k)。 然后使用 Dijkstra 算法找到从 (s, 0) 到 (t, 0) 的最短路径。

Answer 2

将 BFS 与优先级队列一起使用，以便始终检查最短的状态（= 来自s路径）。 与普通的 Dijkstra 不同，您的状态是完整的路径，您可以在遇到已经访问过的顶点时重新访问它们。

我无法证明这样的算法是最优的，但至少它应该是正确的，如果存在的话，总是返回一个有效的最短路径答案。 某些图和 K 值的运行时间会非常长，如果没有从s到t的 k 整除路径但存在路径长度可被 k 整除的循环，则算法可能根本无法完成。 您可以先使用初步 DFS 找到并过滤掉它们。