給定一個加權圖和自然數 k，如何找到可以除以 k 的從節點 s 到 t 的最便宜的路徑？

Question

給定一個不包括負循環的加權圖 G=(V,E)、一個自然數 k 和兩個頂點：s,t。

我怎樣才能找到從 s 到 t 的最便宜的路線，它的長度可以被 k 整除？

Answer 1

准備一個具有頂點 V × {0, 1, ..., n−1} 的新圖 G'，並且對於 G 中長度為 ℓ 的每個弧 v → w，弧 (v, x) → (w, (x + ℓ) mod k)。 然后使用 Dijkstra 算法找到從 (s, 0) 到 (t, 0) 的最短路徑。

Answer 2

將 BFS 與優先級隊列一起使用，以便始終檢查最短的狀態（= 來自s路徑）。 與普通的 Dijkstra 不同，您的狀態是完整的路徑，您可以在遇到已經訪問過的頂點時重新訪問它們。

我無法證明這樣的算法是最優的，但至少它應該是正確的，如果存在的話，總是返回一個有效的最短路徑答案。 某些圖和 K 值的運行時間會非常長，如果沒有從s到t的 k 整除路徑但存在路徑長度可被 k 整除的循環，則算法可能根本無法完成。 您可以先使用初步 DFS 找到並過濾掉它們。