O（m + n）和O（mn）之間的差異？

Question

我試圖通過不同的方法找到算法的復雜性。 在數學上我遇到了一個O（m + n）和另一個O（mn）方法。 但是，我無法掌握或說出這一點。 這不像是我看着他們並得到“啊！這就是發生了什么”的感覺！ 有人可以使用他們自己的例子或任何其他工具解釋這個嗎？

Answer 1

O(m+n)例子：

for(int i = 0, i < m, i++)
    //code
for(int j = 0, j < n, j++)
    //code

m代碼迭代發生。 然后發生n次迭代的代碼。

O(mn)示例：

for(int i = 0, i < m, i++)
    for(int j = 0, j < n, j++)
        //code

對於m每次迭代，我們有n次迭代的代碼。 想象一下迭代非方形2D數組。

m和n不一定等於相同的值。 如果他們相等的值相同，則O(m+n)

O(m+n) => O(m+m) => O(2m) => O(m)

我建議看一下這個問題/答案 ，以便了解最后的過渡。

對於O(mn) ：

O(mn) => O(mm) => O(m^2)

Answer 2

我對尋找直覺的建議被認為是如下實驗：

首先，要意識到m和n是輸入的兩種不同測量值 。 它們可能是兩個輸入流的長度，矩陣邊長，或同一數據結構的兩個不同屬性的計數，例如同一圖的邊和節點數，或任何類似的度量。

直覺是big-O用簡單函數表示算法的真實運行時間（或者其他一些方面，如比較計數或所需空間）的界限 - 調用R（m，n） - 乘以某些任意常數。 我們忽略常數因子，並通過調用它們的運行時間O（R（m，n））來考慮由同一個R作為族的所有算法。

因此，大O（m + n）表示對於適當大的m和n，實際運行時間受某些函數R（m，n）= C（m + n）的限制。 對於圖形示例，這表示算法的實際運行時間將受頂點數和邊數之和的倍數限制。

您可以將邊界函數視為具有軸m，n和R（m，n）的3d中的圖形。 或者你可以想到圖表：

R(m,n) = m + n
--------------
m=  1  2  3  4
n=1 1  2  3  4
  2 3  4  5  6
  3 4  5  6  7
  4 5  6  7  8

對於R（m，n）= mn，你有

R(m,n) = mn
--------------
m=  1  2  3  4
n=1 1  2  3  4
  2 2  4  6  8
  3 3  6  9 12
  4 4  8 12 16

作為一個三維圖形，第一個函數是一個平面，第二個函數幾乎在所有點都是一個快速增長的函數。 這意味着如果m和n增長得足夠大，則O（mn）界限最終會比O（m + n）更大（對應於可能更慢的程序），因為常數變得無關緊要。

對於快速增長成本的一個例子，假設O（m + n）算法在其運行時界限中具有3的額外常數因子（與上述兩種算法相比，它在小輸入上可能非常慢）：

R(m,n) = 3(m + n)
--------------
m=   1  2  3  4
n=1  3  9 12 15
  2  9 12 15 18
  3 12 15 18 21
  4 15 18 21 24

因此，O（m + n）看起來像它的約束比上圖中的O（mn）約束更少。 但是看看m = n = 100的情況。 這里O（m + n）算法的約束是3（m + n）= 600.但是具有小常數的O（mn）算法已經綁定了mn = 10000.顯然，如果m和n很大，你想要第一個算法。

@Anonymous在本文的初始版本上提出了一個很好的觀點，這使得大O和大Theta感到困惑。 Big-O僅處理被測量的界限或上限 。 例如，這意味着每個 O（n）算法也是O（n log n）和O（n ^ 2）。 如果實際運行時間受到增長較慢的函數的限制，那么它也受到所有增長速度較快的函數的限制。

然而，人們常常說“這個算法是O（n）”，而意味着界限很緊 。 也就是說，對於某些常數C，Cn是運行時間的上限，並且對於某些其他常數D（並且適當地大的n），Dn也是下限。 這種緊密界限適當地表示為Theta（n），而不是O（n）。 Theta（R（m，n））算法的運行時間（粗略地說）與R（m，n）成比例。

我最后會補充說，在很多情況下你不能忽略常量。 文獻中存在許多算法，這些算法比常用的算法漸近“更快”，但是具有如此大的常數，對於實際問題大小，它們總是太慢。 計算幾何有很多例子。 Radix 2排序是另一種。 它是Theta（n），但實際上一個好的快速排序（Theta（n log n）平均情況）將在大小至少為10 ^ 8整數的數組上擊敗它。

Answer 3

O（m + n）比O（mn）快很多（ 一個數量級 ）。

O（m + n）算法可以是迭代2個集合並對每個元素執行恆定時間（O（1））操作的算法。

O（mn）算法可以是迭代第一組並對第二組中的匹配元素進行線性搜索（O（n））的算法。

O（mn）算法可能就是教授們稱之為“天真的方法”