O(mn) 比 O((m+n)^2) 好嗎？

Question

算法的輸入是m和n 。

我的算法的時間復雜度是O(mn) 。

我有一個時間復雜度為O((m+n)²)的基准算法。

在時間復雜度方面，我的實現是否比基准測試更好？

Answer 1

如此多的評論者和回答者希望僅考慮m = n或至少當它們通過常數因子相關時的情況。 這不是它的工作原理。

當我們保持m或n常數時，您的算法顯然更快； 例如，如果我們將自己限制在m = 1的情況下，那么您的算法的復雜度為O(n)而替代方案為O(n^2) ，因此在這種受限情況下，您的算法顯然更好。

我們可以說的是(m+n)^2 = m^2 + n^2 + 2mn顯然是Ω(mn) ，其中Ω表示這是一個下界，並且您的算法（漸近）總是至少一樣好; 即，沒有其他算法漸近優於您的算法的限制情況。 但是我們確實知道在某些情況下您的情況更好。 所以，總的來說，你的更好。

Answer 2

是的，您的實施更好。 回想一下 (m+n)^2 = m^2 + n^2 + 2mn，所以 (m+n)^2 > mn

Answer 3

O(mn)並非在所有情況下都比O((m+n)²) 。

---

看看這個案例：

O((m+n)²) = O(mn)如果m=O(n)

對於m=O(n)可以引入一個新變量（ c:= max(n,m) ）

O((m+n)²) = O(m² + 2mn + n²) 
           = O(c² + 2cc + c²=
           = O( 3* c²)
           = O(c²)

O(mn)      = O(cc) = O(c²)

因此，在 n 和 m 僅相差大約一個常數的情況下，兩個復雜度是相同的。

---

如評論中所述if not m=O(n)
當O(n²) > O(nm)或O(m²) > O(mn)比O(mn)更好。

---

My Fazit：根據你對“更好”的定義，你可以說：
O(mn)永遠不會比O((m+n)²)
要么
O(mn)優於O((m+n)²)