“常態”是否等同於“歐幾里德距離”？

Question

我不確定“規范”和“歐幾里德距離”是否意味着同樣的事情。 請你幫我解決這個問題。

我有一個n乘m陣列a ，其中m > 3.我想計算第二個數據點a[1,:]與所有其他點（包括其自身）之間的Eculidean距離。 所以我使用了np.linalg.norm ，它輸出了兩個給定點的范數。 但我不知道這是否是獲得ED的正確方法。

import numpy as np

a = np.array([[0, 0, 0 ,0 ], [1, 1 , 1, 1],[2,2, 2, 3], [3,5, 1, 5]])
N = a.shape[0] # number of row
pos = a[1,:] # pick out the second data point. 
dist = np.zeros((N,1), dtype=np.float64)

for i in range(N):
    dist[i]= np.linalg.norm(a[i,:] - pos)

Answer 1

范數是一個函數，它將矢量作為輸入並返回一個標量值，該標量值可以解釋為該矢量的“大小”，“長度”或“幅度”。 更正式地，規范被定義為具有以下數學屬性：

• 它們是乘法縮放的，即任何標量a的 Norm（a· v ）= | a |·Norm（ v ）
• 它們滿足三角不等式，即Norm（ u + v ）≤Norm（ u ）+ Norm（ v ）
• 一個向量的范數是零，如果且僅當它是零矢量，即規范（V）= 0⇔V = 0

歐幾里德范數（也稱為L²范數）只是眾多不同規范中的一種 - 也有最大范數，曼哈頓范數等。單個矢量的L²范數相當於從該點到原點的歐幾里德距離。 ，兩個向量之差的L²范數等於兩個點之間的歐幾里德距離。

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正如@nobar的回答所說， np.linalg.norm(x - y, ord=2) （或者只是np.linalg.norm(x - y) ）將給出向量x和y之間的歐幾里德距離。

既然你要計算的歐幾里得距離之間的a[1, :]和所有其他行的a ，你可以這樣做快了很多通過消除for環路和廣播在的行a ：

dist = np.linalg.norm(a[1:2] - a, axis=1)

使用廣播自己計算歐幾里德距離也很容易：

dist = np.sqrt(((a[1:2] - a) ** 2).sum(1))

最快的方法可能是scipy.spatial.distance.cdist ：

from scipy.spatial.distance import cdist

dist = cdist(a[1:2], a)[0]

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（1000,1000）數組的某些時序：

a = np.random.randn(1000, 1000)

%timeit np.linalg.norm(a[1:2] - a, axis=1)
# 100 loops, best of 3: 5.43 ms per loop

%timeit np.sqrt(((a[1:2] - a) ** 2).sum(1))
# 100 loops, best of 3: 5.5 ms per loop

%timeit cdist(a[1:2], a)[0]
# 1000 loops, best of 3: 1.38 ms per loop

# check that all 3 methods return the same result
d1 = np.linalg.norm(a[1:2] - a, axis=1)
d2 = np.sqrt(((a[1:2] - a) ** 2).sum(1))
d3 = cdist(a[1:2], a)[0]

assert np.allclose(d1, d2) and np.allclose(d1, d3)

Answer 2

“規范”的概念是數學中的一般概念，當應用於向量（或向量差異）時，廣泛地表示一些長度的度量。 計算范數有各種不同的方法，但是稱為歐幾里德距離的方法稱為“2范數”，並且基於應用2的指數（“平方”），並且在求和后應用1/2的指數（“平方根”）。

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它在文檔中有點神秘，但是通過設置參數ord=2可以得到兩個向量之間的歐幾里德距離。

sum(abs(x)**ord)**(1./ord)

變為sqrt(sum(x**2)) 。

注意：正如@Holt所指出的，默認值是ord=None ，它被記錄為計算向量的“2-norm”。 因此，這相當於ord=2 （歐幾里德距離）。