給定兩個指定方向的3D旋轉

Question

我有兩個垂直單位向量，p和q; 我認為它嵌入在3D空間中的某些剛性物體中。 我希望旋轉對象，使p現在指向正x軸，q指向正y軸。

我在c＃中編程並使用四元數來計算旋轉。 如何創建將執行所需旋轉的四元數？

Answer 1

如果您想象四元數的逆運算，那么您就知道點（1,0,0）轉到p，而（0,1,0）轉到q。 類似地，點（0,0,1）將到達等於p和q的叉積的點z。

因此，您實際上具有反向旋轉的矩陣表示。 第一列是p，第二列是q，第三列是p交叉q。

所以你想要的旋轉矩陣是由這個矩陣的轉置給出的，即第一行是p，第二行是q，第三行是p cross q。

所以我建議你只需調用一個庫例程，從這個矩陣轉換為四元數形式。

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正交矩陣

如果我們有一個矩陣M，其中列（a，b，c）形成一個正交集，那么我們知道a'a = b'b = c'c = 1，a'b = ... = c'a = 0。

因此M'M = I.

如果我們在左邊乘以M，在右邊乘以inv（M），我們發現：

M.M'.M.inv(M) = M.inv(M)
=> M.M'.(M.inv(M)) = M.inv(M) = I
=> M.M' = I

因此，如果我們有正交列，我們必須也有正交行，矩陣M稱為正交矩陣。