多項式回歸的置信區間

Question

我和R和統計數據有點問題。

我使用最大似然法擬合了一個模型，他給出了以下系數及其各自的標准誤差（以及其他參數估計值）：

    ParamIndex   Estimate     SE        
1         a0  0.2135187 0.02990105  
2         a1  1.1343072 0.26123775  
3         a2 -1.0000000 0.25552696  

從我可以畫出我的曲線：

 y= 0.2135187 + 1.1343072 * x - 1 * I(x^2)

但是從那時起，我現在要計算這條曲線周圍的置信區間，我不清楚如何做到這一點。

顯然，我應該使用傳播或誤差/不確定性，但我發現的方法需要原始數據，或者不僅僅是多項式公式。

當用R知道估計值的SE時，有沒有任何方法可以計算我的曲線的CI？

謝謝您的幫助。

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編輯：

所以，現在，我使用函數vcov獲得協方差表（v）：

                 a0           a1           a2
    a0  0.000894073 -0.003622614  0.002874075
    a1 -0.003622614  0.068245163 -0.065114661
    a2  0.002874075 -0.065114661  0.065294027

並且n = 279 。

Answer 1

您現在沒有足夠的信息。 要計算擬合曲線的置信區間，需要三個系數的完全方差 - 協方差矩陣 ，但是現在您只有該矩陣的對角線條目。

如果已經擬合了正交多項式，則方差 - 協方差矩陣是對角線的，具有相同的對角線元素。 這肯定不是你的情況，因為：

• 您顯示的標准錯誤彼此不同;
• 你明確使用了原始多項式表示法： x + I(x ^ 2)

但我發現的方法需要原始數據

它不是用於擬合模型的“原始數據”。 它是您想要產生置信帶的“新數據”。 但是，您確實需要知道用於擬合模型的數據的數量，例如n ，因為這是導出剩余自由度所必需的。 在你的情況下有3個系數，這個自由度是n - 3 。

一旦你有：

• 完全方差 - 協方差矩陣，比方說V ;
• n ，用於模型擬合的數據數量;
• 點x的向量給出了產生置信帶的位置，

您可以先從以下方面獲得預測標准誤差：

X <- cbind(1, x, x ^ 2)    ## prediction matrix
e <- sqrt( rowSums(X * (X %*% V)) )    ## prediction standard error

你知道如何從擬合的多項式公式得到預測均值嗎？ 假設平均值為mu ，現在為95％-CI，使用

## residual degree of freedom: n - 3
mu + e * qt(0.025, n - 3)  ## lower bound
mu - e * qt(0.025, n - 3)  ## upper bound

一個完整的理論是如何預測.lm（）計算置信區間和預測區間？

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更新

根據您提供的協方差矩陣，現在可以生成一些結果和數字。

V <- structure(c(0.000894073, -0.003622614, 0.002874075, -0.003622614, 
0.068245163, -0.065114661, 0.002874075, -0.065114661, 0.065294027
), .Dim = c(3L, 3L), .Dimnames = list(c("a0", "a1", "a2"), c("a0", 
"a1", "a2")))

假設我們想要在x = seq(-5, 5, by = 0.2)處產生CI：

beta <- c(0.2135187, 1.1343072, -1.0000000)
x <- seq(-5, 5, by = 0.2)
X <- cbind(1, x, x ^ 2)
mu <- X %*% beta
e <- sqrt( rowSums(X * (X %*% V)) )
n <- 279
lo <- mu + e * qt(0.025, n - 3)
up <- mu - e * qt(0.025, n - 3)
matplot(x, cbind(mu, lo, up), type = "l", col = 1, lty = c(1,2,2))