噪聲方差不同於1的Milstein算法

Question

我想針對一個隨機方程（其中的噪聲是可加的）實現Milshtein算法。 該方程式具有下一種形式。

dx(t)/dt= q(x(t)) + noise(t)

噪聲是均值為零且方差為5的高斯變量。我在書中為該表達式找到的milsthein算法的表達式如下：

x(t)=x(t) + h q(x(t)) + sqrt(h) u

其中“ h”是算法的步驟，“ sqrt”表示“平方根”，“ u”是均值0和方差1的高斯隨機變量。

但是，如果我想使用方差5的噪聲，是否應該使“ u”成為方差5的高斯變量，還是應該進行其他更改？

Answer 1

沒錯 根據您修改后的隨機微分方程，

dx(t)/dt = q(x(t)) + √5 noise(t),

我們可以僅使用微分線性和方差1噪聲的公式得出正確的公式。 設p(z) = q(√5 z)/√5和y(t) = x(t)/√5 。

dx(t)/dt = q(x(t)) + √5 noise(t)
         = √5 [q(√5 x(t)/√5)/√5 + noise(t)]
         = √5 [p(x(t)/√5) + noise(t)]        change q -> p where z = x(t)/√5
(dx(t)/dt)/√5 = p(x(t)/√5) + noise(t)
d(x(t)/√5)/dt = p(x(t)/√5) + noise(t)        linearity of differentiation
dy(t)/dt = p(y(t)) + noise(t)                change x -> y

y的更新公式由Milstein給出：

y(t) -> y(t) + h p(y(t)) + √h u.

我們可以推導x的更新公式。

x(t)/√5 -> x(t)/√5 + h p(x(t)/√5) + √h u
x(t) -> x(t) + √5 h q(x(t))/√5 + √5 √h u
     -> x(t) + h q(x(t)) + √h (√5 u)