書中抽引引理證明是錯誤的嗎 <Introduction to the Theory of Computation> ？

Question

《 計算理論導論 》一書中的“抽引引理”的證明：

抽運引理：如果A是常規語言，則存在一個數字p（抽運長度），如果s是A中長度至少為p的任何字符串，則s可分為三段，s = xyz，滿足以下條件：

1. 對於每個i≥0，xyiz∈A，
2. | Y | > 0，並且
3. | XY | ≤p

令M =（Q，Σ，δ，q1，F）是識別A的DFA。我們將抽運長度p分配為M的狀態數。我們證明A中長度至少為p的任何字符串s都可以分為三個部分xyz，滿足我們的三個條件。 如果A中沒有任何字符串的長度至少為p怎么辦？ 然后，我們的任務就更加容易了，因為該定理變得虛無成立：顯然，如果沒有這樣的字符串，那么三個條件對於所有長度為p的字符串都成立 。

問題：加粗的報價部分，我認為這是錯誤的。 因為如果A中沒有任何字符串的長度至少為p，那么顯然這不是常規語言。

Answer 1

這里有兩點需要澄清：

1. 激進式引理指出：“如果一種語言是規則的，則該語言中所有長度至少為p的字符串都具有某些屬性。” 如果你的語言沒有任何長度的字符串至少P，該語句是在這個意義空洞地真實的，有沒有反例。 如果x為假，則“如果x，則y”在數學上為真 。 “如果月亮是用奶酪制成的，那么我就是法國的國王”，這在數學上是正確的說法。 這可能與我們通常使用條件假設（假設假設通常（有條件地，假設地）是正確的）的方式有所不同。 但這是它的正式含義。
2. 字符串長度至少為p的任何語言的長度嚴格小於p的字符串。 因為字符串的長度必須是非負整數，所以這意味着長度有限。 因為每個字符串的長度在該語言的字母表中對應於有限的許多可能的字符串，並且有限的有限項之和必須是有限的，所以任何這樣的語言都必​​須是有限的。 我們知道，有限的語言必須是規則的，無論抽引引理怎么說。 無論如何，在這種情況下，常規語言的抽動引理本身並不關心，因此這里所說的是對還是錯都是無關緊要的。 對於字符串較短的語言，簡單地不說什么，而不是試圖指出它的主張在這些情況下也是一致的，這樣的混淆就不會造成混淆。